Microeconomía II

Fuente: A. Ribó

Un resumen general de esa asignatura en power point, link: resumen de microeconomia II

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Lunes 26 de abril

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Demanda derivada de factores

Desde el punto de vista del consumidor, los precios de los bienes y su restricción presupuestaria determinan sus curvas de indiferencia, si baja uno de los precios de los bienes, su salario real aumenta y llegará a un punto de utilidad superior. Desde el punto de vista de la empresa, los precios de los factores productivos (del capital, del trabajo) determinan la curva de restricción, la isocoste. Pero ya que la empresa es la que paga el salario… ¿puede bajar el salario y así modificar su restricción presupuestaria y llegar a un nivel de producción superior?. Pues no:
La demanda de la sociedad respecto a un bien, incentiva su producción, y justamente cuanto más se produce, más se valora los factores productivos que estás utilizando. En este sentido, es la demanda la que pide que se utilicen más factores en la economía.

En producción, si decides bajar el precio de uno de los factores estás cambiando la producción.

La función de costes de producción se puede ver

1.desde los Costes Totales, que es la suma de todos los costes fijos y variables; está en función del precio del trabajo (el salario; w), en función del precio del capital (el interés; r) y la cantidad producida (q):
CT(w,r,q)

2. desde los costes medios, que es repartir los costes totales entre todas las unidades producidas, de tal forma que sabes qué coste  del total tiene cada unidad producida:
CMe = CT/q

3. desde los costes marginales, que es el coste que supone producir una unidad más;
CMg = derivada de CT/q

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Miercoles 21 de abril

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Minimización de costes

Coste de oportunidad, CO
Coste económico, CE
Coste contable, CC

El coste económico es el coste oportunidad del factor; lo que hay que pagar para mantenerlo en nuestra producción, como por ejemplo “w” el salario de los trabajadores. El coste económico de tener un empleado es su salario.
El coste contable es el coste histórico, el precio de adquisición + costes, etc.

Ejemplo:

Adquirimos una máquina por 10.000.000
vida útil; 10 años
valor residual: 200.000

Cuando una empresa compra una máquina pierde dinero (activo) pero gana la máquina (activo). A partir de aquí cada año practica su amortización; coste-valor residual / años de vida útil = 980.000 anuales. Este es el coste anual de la máquina.
Viene otra empresa y nos pide que se la dejemos por un alquiler de 120.000 anuales. ¿lo haremos? Pues no, porque cada año tenemos que hacer frente a la amortización y con el alquiler ingresamos 120.000… lo que dejaría unas pérdidas anuales de 860.000
Viene otra y nos ofrece 1.000.000 al año… entonces sí; cada año ganaríamos 20.000

Ojo, el coste de oportunidad existe cuando producir algo tiene un coste. Por ejemplo; producir sillas tiene el coste de oportunidad de la madera, la maquina y el salario del trabajador… Pero si se utilizaran recursos que no sirven para nada más; el coste de oportunidad es cero.

Ejemplo 2:

beneficio contable (el beneficio de mi empresa) – coste de capacidad empresarial (el coste de oportunidad de estar dirigiendo mi empresa, es decir; el salario que pierdo trabajando de panadero) = beneficio económico.

Para K y L los costes de oportunidad son “r” (el tipo de interés) y “w”.

Coste total = CT = wL + rK
Beneficios = pq – (wL + RK)
pq es la producción total a su precio de venta = ingresos totales = IT = p*f(K,L)
Así, los beneficios = IT – CT

minimiza: wL+rK
sujeto a: f(K,L) mayor o igual que “q”

donde RTS = w/r = 1 (es la condición necesaria para poder minimizar)

Si q= 20
w = r = 10
(K,L) = (10,10)

quiere decir que producimos 20 unidades que requieren 10 unidades de K y 10 unidades de L con un coste de 10 cada uno.
CT = 200

Si la RTS fuera diferente a 1, no se podría minimizar la función. Por demostración formal: el último euro que me gaste en capital debe dar la misma utilidad que el último euro que me gaste en trabajo.

La condición de tangencia no se cumple para sustitutos perfectos ni para complementarios perfectos.

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Martes 20 de abril

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Productividad marginal y media

La productividad marginal es el incremento de producción cuando incremento una unidad de los factores de producción. Por ejemplo: tengo una fábrica de sillas con maquinaria (factor capital) y empleados (factor trabajo). Si pongo un trabajador más a trabajar, el incremento de producción será resultado de la productividad marginal del trabajo… supongamos que al poner un trabajador más se producen 2 sillas más; la productividad marginal del trabajo PMgL = 2.
Si añado otro trabajador, otro, y otro más, y hago la media de las productividades marginales obtengo la Productividad Media del trabajo; PMeL. Que representa el incremento medio de la productividad al añadir un trabajador más.
Partiendo de una situación inicial donde he invertido en maquinaria y tengo mucho espacio disponible para empleados, la productividad marginal irá en aumento a medida que incorpore trabajadores (porque se ayudan entre ellos, trabajan en cadena, etc). Es decir; obtengo rendimientos crecientes a escala: cada vez que añado un nuevo empleado, produce más que el anterior. La PMgL es > PMeL.
¿es posible que sea así siempre?
Evidentemente habrá un momento en que llegaré a ocupar todos los puestos disponibles de la fábrica, y entonces cada nuevo empleado que incorpore verá que no tiene sitio para trabajar, o incluso que estorba; la PMgL pasa a ser < PMeL… se ha llegado a los rendimientos decrecientes.
Ese momento en que al incoporar un nuevo empleado su PMgL es = que la del anterior empleado incorporado es el ideal, se entiende que estoy en rendimientos constantes y que estoy al límite de la capacidad productiva de la empresa, estoy a un paso de caer en la saturación y provocar rendimientos decrecientes.

En esta imagen ya me lo relacionan con los costes, que imagino que será lo que vendrá en los próximos días.

¿Cómo se calcula la productividad marginal?
PMgL = derivada respecto L
PMgK = derivada respecto K

¿Y la productividad media?
La productividad media de L es = f(K,L)/L
La productividad media de K es = f(K,L)/K

Malthus propuso la teoria de los rendimientos decrecientes; si fijas uno de los factores (capital; el campo por cultivar y herramientas) y añades una nueva unidad del otro (trabajo; un campesino) habrá un momento en que la PMe será mayor que la PMg. Es decir; los nuevos añadidos darán menos rendimiento que los añadidos anteriormente.

No se cumple en aquellos casos que, por el motivo que sea, la PMg siempre es mayor que la media (directamente la hipotesis no se cumple) y cuando la PMg se mantiene siempre constante, siempre = que la Pmedia.

Rendimientos a escala

Existen dos caminos
a) cojo mi empresa y multplico por 3 los factores que la componen; 3*trabajadores, 3*maquinaria (empresa a escala)
b) cojo mi empresa y la multiplico por 3, de tal forma que obtengo 3 empresas iguales

¿cuál de las dos opciones dará un mayor rendimiento, 3 empresas por separado o una empresa 3 veces más grande? Ampliar la escala de producción tiene como bueno que permite una mayor eficiencia gracias a la facilidad de la especialización, pero tiene como malo que se incrementan los costes de control. En teoria…
f(3*K,3*L) produce más que 3*f(K,L)

Relación entre la Relación Técnica de Sustitución (RTS) y los rendimientos constantes a escala

Se supone funciones homotéticas, de tal forma que al mantener constantes las proporciones de K y L la RTS es la misma.

Elasticidad de sustitución

σ = d(K/L)/d(RTS) * RTS/(K/L)

Una elasticidad grande; para mantener el mismo nivel de producción, se puede intercambiar uno de los factores por muy poco del otro factor.

Una elasticidad pequeña; para mantener el mismo nivel de producción, para intercambiar uno de los factores necesitas añadir muchísimo del otro factor.

Elasticidad parcial de sustitución

Ejemplo. ¿Si quisiéramos incrementar la productividad en un 50%, cuál de los dos factores incrementariamos? suponiendo
eqL = 3  (por cada 1% de incremento de L, la cantidad producida q = 3%)
eqK = 2  (por cada 1% de incremento de K, la cantidad producida q = 2%)
Solución: pues se elegiría incrementar el factor trabajo hasta que la cantidad producida llegue al incremento del 50%, porque es más eficiente que incrementar el factor capital.

Factor fijo y factor variable

Es la variable tiempo; un factor fijo es el que resulta imposible variar en el tiempo considerado. El factor variable sí puede variar. Si modificamos los dos es que estamos considerando el Largo Plazo, si no, el CP… aunque todo depende de la actividad de la empresa (olé!).

Ejemplos de funciones de producción

1. Lineal f(K,L) = aK + bL donde a,b > 0
a) con esta función, los rendimientos serán constantes a escala.
b) las RTS = b/a, constante
c) elasticidad de sustitución σ = ∞
En el gráfico son rectas con pendiente negativo.

2. Proporciones fijas f(K,L)= min {aK,bL} donde a,b > 0 (ej. se necesitan siempre 4 ruedas para producir un coche)
a) Rendimientos constantes a escala
b) RTS = 0 por la derecha, infinito por la izquierda
c) elasticidad de sustitución = infinito por la derecha, cero por la izquierda
Es decir, en el gráfico son curvas con forma de “L”

3. Cobb Douglas

a) rendimientos crecientes si a+b>1
rendimientos constantes si a+b=1
rendimientos decrecientes si a+b<1
b) si a+b=1 entonces la elasticidad de sustitución = 1… es una curva “perfecta”; la pendiente varia en cada punto pero la elasticidad siempre es = 1

4. CES (elasticidad constante de sustitución).

es un resumen de las tres anteriores, es lo que veremos los próximos años.

Progreso técnico

Si existe progreso técnico quiere decir que
1. la función de producción f(K,L) da una mayor cantidad de bienes producidos;

2. se necesitan menos recursos para producir más (las isocuantas están más próximas al eje de coordenadas). Como si en el siguiente gráfico Q3 fuera 1970 y Q1 2010;

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Lunes 19 de abril

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Tecnología y función de producción

¿Cómo se organiza la producción? pues mediante la técnica, la tecnología y la función de producción. Siguiendo el esquema de que…
INPUTS → PRODUCCIÓN → OUTPUTS … existe una relación entre cantidad de inputs y cantidad de outputs. La producción queda como “una caja negra”… (una explicación un poco rara pero es lo que ha dicho el tío).

Pongamos que existen cinco empresas A, B, C, D que producen una cantidad fija de 100 sillas a partir de una serie de inputs de capital y trabajo. ¿Cuál será la más eficiente?

	K (unidades de capital)	L (unidades de trabajo)	Cantidad producida
A	5	3	10
B	3	5	10
C	8	1	10
D	5	4	10

como no se especifica qué es cada unidad de capital y cada unidad de trabajo (no nos lo ha querido explicar, parece que es algo muy complicado) entonces no se puede decir nada respecto a cuál de estas cinco empresas es más eficiente. Sólo la empresa D que produce con 5 de K y 4 de L… entonces sí, comparándolo respecto a A y ya que coinciden en uno de los factores de producción se puede asegurar que A es más eficiente que D, simplemente porque de L utiliza una unidad menos.

Estas cuatro empresas tienen su técnica cada una; su receta para producir, y el conjunto de técnicas es la tecnología. La técnica determina cuántos factores necesitas de cada para producir una cantidad determinada, podría ser un vector muy completo tipo f(x,y,z,…) donde cada variable es una máquina, un input, un desgaste temporal, otra máquina que también participa en el proceso, etc. Pero para hacerlo fácil aquí sólo miraremos dos factores de producción.

Entonces nos ha preguntado qué son los factores productivos. En economía mundial creo que recordar que decían básicamente Tierra, Capital y Trabajo. Luego como complemento se le añade el conocimiento humano (el “know-how”) y también la tecnología. Como siempre, aquí añaden su intución y dice que los factores productivos son
1. capital
2. trabajo
3. recursos naturales
4. capacidad empresarial

Y finalmente, por eficiencia se puede entender necesitar menos inputs para generar más outputs.

Las empresas que tienen un nivel de eficiencia que no se puede comparar, trazan la isocuanta para un mismo nivel de producción. Una empresa como el punto 4 (la D de antes) está en el espacio interior que dibuja la isocuanta, por lo que no está siendo eficiente; para producir lo mismo que las otras necesita más inputs.

Es la técnica la que determina la función de producción, y no la inversa (la función de producción NO determina la tecnología).

La diferencia de la isocuanta respecto las curvas de indiferencia de temas anteriores, es que ahora cuánto más cerca del eje de coordenadas mejor, porque significa que para producir una misma cantidad necesitamos menos inputs. La pendiente de la curva en un punto es la Relación Tecnica de Sustitución. En los extremos de la curva… cuando L tiende a infinito quiere decir que ya estamos utilizando muchísimo trabajo y muy poco capital (mil trabajadores y dos palas) y para mantener la misma producción, si queremos cambiar capital por trabajo (pasar a una sóla pala) habrá que incrementar muchísimo más la cantidad de trabajadores. Cuando K tiende a infinito, lo mismo pero respecto al capital.

Variaciones de un factor:

La RTS = productividad marginal del trabajo / productividad marginal del capital

Las isocuantas son curvas porque no vale el extremo de producir sólo con capital o sólo con trabajo. Ambas variables se necesitan. Además también provoca que cuanto más los relaciones, mayor eficiencia.

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Miercoles 14 de abril

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Hemos hecho un ejercicio más de la caja de Edgeworth. Ya lo publicaré en otro power point más tarde.

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Martes 13 de abril

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Los equilibrios walrasianos suceden cuando
1) cada consumidor maximiza su utilidad sujeto a restricción presupuestaria.
2) el exceso de demanda agregada es cero.

El equilibrio walrasiano es sinónimo de equilibrio competitivo.

Para que exista del equilibrio la función de exceso de demanda agregada debe ser continua.

Equilibrio y eficiencia; el primer teorema del bienestar
1. si las preferencias de los individuos son no-saciadas, cualquier equilibrio walrasiano es eficiente en el sentido de Pareto.
Pero este punto significa que dando precios y “liberando” a los individuos, ellos mismos llegarán a un óptimo de Pareto. Funciona cuando:
1.1. cada consumidor se interesa sólo por su propio consumo, no hay interdependencia de las preferencias.
1.2. los individuos son precio-aceptantes. No existen monopolios ni oligopolios.
1.3. la información es perfecta.

Pero… ¿una solución de pareto es justa? Si vemos que es una solución no equitativa, aplicamos impuestos para modificar la restricción presupuestaria.

el segundo teorema del bienestar
2. Toda distribución deseable desde el punto de vista de equidad, se puede obtener redistribuyendo las dotaciones iniciales y dejando que el mercado funcione. (es decir, que en lugar de retocar los impuestos, se plantea un punto de salida diferente que “obligatoriamente” pase por el óptimo equitativo).

Lo que entiendo yo: según el primer teorema del bienestar, los individuos parten de una situación con una dotación inicial al azar, y libremente intercambiarán hasta un óptimo de Pareto. Según el segundo teorema, si no nos convence hacia donde se dirigen, podemos empezar a jugar de nuevo pero con unas dotaciones que “pasarán” por una situación equitativa.

Ley de Walras

Si miramos las funciones de demanda de cada uno de los individuos,
precio del bien 1 * excedente de demanda para el individuo A del bien 1 + lo mismo pero del bien 2 = cero
es decir, p1*e1A + p2 *e2A = 0
y significa que, por ejemplo,… si el individuo A quiere 100 euros más del bien 1, será porque deja de gastarse 100 euros en el bien 2.

Lo mismo puede pasar para el individuo B, pero a lo mejor decide gastarse 100 euros más en el bien 2, y dejar de gastárselo en el bien 2

En esta situación se cumple el equilibrio walrasiano = el excedente de demanda de un bien por parte de un individuo, se compensa con la no demanda por parte del otro individuo, y en total ni sobra ni falta bien… el excedente es cero.

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Lunes 12 de abril

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A raíz de hablar de intercambio sin producción, hemos empezado a ver la caja de Edgeworth. Que explico en los dos siguientes powerpoint;
1. caja de edgeworth
2. caja de edgeworth 2

Entiendo que funciona así

1. Reparto injusto
Cuando dos individuos se disputan bienes en intercambio sin producción, el punto final será un óptimo de Pareto. Los dos se habrán movido por sus preferencias y habrán sacado la máxima utilidad posible respecto las cantidades disponibles. En ese óptimo ninguno podrá mejorar sin perjudicar al otro, y si el reparto parece injusto no se podrá hacer nada.

2. Reparto justo.
La situación anterior, pero se da un precio a los bienes y se da un presupuesto a los individuos. Si vemos un punto que además de ser óptimo es equitativo, movemos los impuestos para obligar a la restricción presupuestaria individual a pasar por el óptimo. Si además los excedentes de oferta y demanda son en conjunto = cero, entonces se dice que estamos en un equilibrio competitivo o Walrasiano.

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Miercoles 7 de abril

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Tema 5. Intercambio sin producción

Si baja la demanda de pescado; baja el precio de pescado; y provoca 1) y 2)
1) baja el sueldo de los pescadores
2) aumenta la demanda de pescado (porque se incorporan nuevos compradores que ahora lo ven barato); baja la demanda de carne; aumenta el precio de carne.

Es decir: una bajada de la demanda de pescado provoca 5 efectos que pueden parecer hasta contradictorios (baja la demanda de pescado / aumenta la demanda de pescado -para volver al óptimo de equilibrio-). ¿Cómo se determinan todos estos precios a la vez? Esto es el equilibrio general. En oposición al equilibrio parcial en que sólo miras un mercado (baja la demanda de pescado, baja su precio).

En el intercambio “sin producción” la cantidad a producir ya está fijada. Sólo se discute cómo se reparte. Se basa en una situación de competencia perfecta, supuestos:
1. hay muchos compradores
2. hay muchos productores
3. existe información perfecta
4. los productos son homogeneos.

Si no nos basáramos en los precios hablaríamos de sociedad de trueque o de economía planificada.

¿Pero cómo se puede manejar tanta información? Por lo visto a alguien se le ocurrió simplificarlo hablando de “tipos de compradores” en lugar de “todos los individuos de la sociedad”… de tal forma que se puede llegar al punto de decir que en una sociedad existe el individuo A, que le gusta la leche, y el individuo B, que no le gusta. De la misma forma, se puede simplificar la producción en dos tipos de bienes, 1 y 2, con la misma idea.

Así, el salario w de A será = w dedicado a 1 + w dedicado a 2
Y el salarío w de B será = w¹+w²

Otro supuesto es que la dotación inicial de bien 1 y 2 no es elegida por los individuos. Es decir; los individuos aparecen con unas cantidades en su poder de cada bien. Pero los individuos tiene su propia utilidad y querrán intercambiar bienes para llegar a su plena satisfacción.
A=(X¹,X²) es la asignación de las cantidades X que A desea de 1 y de 2.
B= (X¹,X²) … de B…

Si la asignación se ajusta a las cantidades de la dotación inicial, la asignación es viable (es un óptimo de Pareto). Pero si los individuos quieren una asignación de bienes en una mayor cantidad a la disponible en la dotación inicial entonces la asignación no es viable (y les tocará negociar).

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Miercoles 24 de marzo

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Demanda de mercado

La demanda agregada depende de precios, renta, distribución de la renta y gustos. Se consigue sumando las funciones de demanda de todos los individuos, por ejemplo, con el individuo X e Y;
Xd (P1, P2, mx) = 10 – 2P1 + 0.1mx + 0.5P2
Yd (P1, P2, my) = 17 – P1 + 0.5my + 0.5P2
D’ (P1, P2, mx, my) = 27 – 3P1 +0.1mx + 0.5my +P2

En esta situación, fijando los valores de mx, my y P2,… podré ver la demanda agregada respecto P1. En este caso nos estaríamos “moviendo” a lo largo de la curva de demanda agregada. Para “desplazar” la curva -moverla- es necesario variar parámetros de la función de demanda, como la distribución de la renta (mediante transferencias de un individuo a otro)

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Martes 23 de marzo

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Hemos hecho un poco de teoría sobre las relaciones entre la VC, VE y el EC. El concepto de “precio reserva”, la diferencia entre EC neto y el bruto. Y finalmente ha dicho que para un bien normal VE<EC<VC.

Y por fin un ejemplo:

Supongamos un bien X y un bien Y con las siguientes funciones de demanda;

y con la función de utilidad

Si el Px=1, el Py= 1, y la renta m=100

La elección de X y de Y será
Xd(1,1,100)=50
Yd(1,1,100)=50

¿Qué pasaría si se incrementa el precio de X en 1… es decir Px=2?

Xd(2,1,100)=25
Yd(2,1,100)=50

¿Cuál es la variación compensatoria, es decir, en cuánto hay que incrementar la renta para volver a la utilidad inicial?
Primero hay que saber cuál era la utilidad inicial:
U=50^1/2*50^1/2=50

Con la función indirecta de utilidad igualada a 50;
=50

Esta función de utilidad es, a su vez = e(Px,Py,m) que mide los precios que deberían ser para llegar a la utilidad inicial.

Siguiendo con la función indirecta de utilidad…
m=100*√2=141.42135
Obviamente, se necesita más renta para volver a una utilidad = 50.

Y cuál es entonces la variación compensatoria?

VC= 100 – 141.42135 = -41.42135 . Es un valor negativo porque estamos peor que antes.

¿Y la variación equivalente? Es decir, con los precios Px=2 Py=1 el invididuo tiene una utilidad
= 35.35
¿cuánto de menos hay que pagarle al individuo -reducir su renta- para llegar a esta U1 con los precios iniciales?

V(m,1,1)= función indirecta de utilidad = utilidad final

de donde sale que m=70.71

Y cuál es entonces la variación equivalente?
VE = 100 – 70.71 = 29.29 .

Y finalmente, cómo ha quedado el excedente del consumidor?

EC = -75

Índices de precios (Lespeyres y Paasche)

Lespeyres = L = cesta final por sus precios iniciales / cesta inicial por sus precios iniciales
Si es menor a 1 = se ha reducido el nivel de vida porque la riqueza inicial era mayor que la final.
Si es mayor a 1 = no se puede asegurar nada.
Es decir… cuánto puedo comprar hoy con el dinero de ayer.

Paasche = P = cantidades finales por precios finales / cantidades iniciales por precios finales
Si es mayor que 1 = se mejora el nivel de vida porque compra más al final que al inicio con el mismo dinero
Si es menor que 1 = no se puede asegurar nada.
Es decir… cuánto podía comprar ayer con el dinero de hoy.

Índice de variación de la renta = R = precios y cantidades finales / precios y cantidades iniciales

1) si P>R el consumidor empeora; con el dinero de hoy me podría haber comprado lo de ayer y me sobraba.
2) si R>P no se puede asegurar nada.
3) si R>L el consumidor mejora
4) si L>R no se puede asegurar nada.

Todo esto se basa en que el consumidor tiene preferencias racionales y las cestas cumplen transitividad.

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Lunes 22 de marzo

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Oferta de capital

Un consumidor puede pedir un préstamo o dejarlo a un tipo de interés “r”. Y ya está creada la tensión entre decidir si consumir hoy (CA, “consumir avui”) o consumir mañana (CD, “consumir demà”)

En el punto 1 no se consume nada hoy y se consume todo en el futuro, = m2 + m1*(1+r)
En el punto 2 se consume todo hoy = m1 + m2/(1+r)

La pendiente de esta recta de balance es = -(1+r)

El punto en que m1=m2 significa que la renta hoy tiene el mismo importe que la renta mañana; suponiendo que cobras lo mismo, quiere decir que no has anticipado renta ni has ahorrado para el futuro.
El individuo prestamista consume menos m1 de la que podría, y consumirá más m2; ha puesto dinero a ahorrar, es el que deja dinero a otros.
El individuo prestatario consume más m1 de lo que puede, y consumirá menos m2; ha anticipado su renta, es el que pide dinero.

¿Si se incrementa el interés qué pasa? Pues que sobre el mismo punto m1=m2 la pendiente -(1+r) es más pronunciada. Se supone que el individuo prestamista seguirá siéndolo, y el prestatario también, aunque no se puede decir en qué punto.

Modelo de los atributos (Lancaster).

Idea: Si hay más bienes que características, alguno de los bienes no lo eligiremos nunca. Por ejemplo, si tenemos 3 bienes, X,Y,Z con 2 características cada uno, existirá una combinación de sólo 2 de los bienes suficiente para satisfacer al consumidor.

Tema 4. Análisis del bienestar

Variación compensatoria, VC.
Variación equivalente, VE.
Excedente del consumidor, EC.

¿Cómo cambia la satisfacción del consumidor si se incrementan los precios?
La Variación compensatoria informa de cuánta renta hay que darle al consumidor para que vuelva a su curva de indiferencia inicial, es decir, en cuánto hay que incrementar su renta para que tenga la misma satisfacción de antes de la subida de precios.

VC = gasto mínimo para alcanzar una utilidad dado los precios p – idem a los nuevos precios p’

o lo que es lo mismo…

Otra forma de verlo es por la Variación Equivalente; cuánto hay que pagarle al consumidor para que no sea necesario modificar los precios. La solución es la misma aunque el cálculo es respecto a una utilidad final… es indiferente incrementar la renta o decrementar los precios.

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Miércoles 17 de marzo

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Puede parecer muy triste, pero entiendo mejor la clase buscando en google que repasando los apuntes.

Hoy hemos visto el efecto renta y efecto sustitución. No hay nada mejor que las cinco primeras entradas (y en especial los archivos PPT) al buscar; “efecto renta y efecto sustitución”. Vale la pena.

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Martes 16 de marzo

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Ahora mismo me resultaría complicado escribir la clase de hoy. Hemos visto cómo conseguir la función de utilidad en un Primal y en un Dual; cómo conseguir la demanda marshalliana y la hicksiana; la función del gasto; el lema de Shepard; la identidad de Roy; y la ecuación de Slutsky. Me resulta más fácil colgar links al respecto.

http://www.microeconomia.org/documentos_new/Tema03.pdf
http://www.monografias.com/trabajos29/ecuacion-slutsky/ecuacion-slutsky.shtml
http://www.eumed.net/libros/2005/jjm/3.pdf
Y en google el primer resultado de: “lema de shepard universidad de madrid”

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Lunes 15 de marzo

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Algunos links que explican cosas de estos días,
http://e-ciencia.com/recursos/enciclopedia/Microeconomía
http://ecosdelaeconomia.blogspot.com/2008/11/microeconoma-del-5-de-noviembre.html
http://ecosdelaeconomia.blogspot.com/2008/12/microeconoma-resumen-hortal-tema-3.html
http://ecosdelaeconomia.blogspot.com/2008/12/microeconoma-resumen-hortal-tema-6.html
http://www.scribd.com/doc/3602341/COMPORTAMIENTO-DEL-CONSUMIDOR

Se está viendo el concepto de curva de Engel;

La demanda ordinaria es también la función indirecta de utilidad: si sustituimos el resultado en la función objetivo, obtendremos el valor de la utilidad. Es decir: el valor de la utilidad no es “qué cantidad de X e Y me dan la máxima satisfacción”, sino que es un número X. Así se puede comparar con otras cestas de valores; comparar utilidades.

La demanda compensada es también la función de utilidad: al sustuir el resultado en la función objetivo nos dará el precio que han de tener los bienes para satisfacer a un individuo bajo la restricción de una renta.

Ejemplo:

Tenemos una función de utilidad de un individuo

Funciónde utilidad Cobb Douglas

La demanda del bien X será

Como la demanda de cada bien sólo depende de los exponentes

Y la demanda del bien Y será


ahora, si se sustituye en U=(X,Y)


despejando … U=

Y así se ve como afecta a la utilidad las variaciones de los precios, o de la renta, o también, sabiendo precios y renta, tendremos el valor de la utilidad.

Si precios y renta fueran todos = 1, entonces

U = 0.0022

Y ojo! Es una función homogenea de grado uno. Quiere decir que un incremento de los valores generará un incremento proporcional en el resultado. Es decir, si renta y precios fueran todos = 3, entonces la recta de balance (la restricción) se habría desplazado a la derecha. PERO la utilidad no ha variado.
Más claro: si dispongo de dos euros y me compro un donut (1€) y un café (1€ también), mi utilidad será igual que si dispongo de 4 euros, el donut vale 2 y el café 2.

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Lunes 8 de marzo

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Tengo muy poco;

1. Estamos tratando de forma muy básica los conceptos de Cobb-Douglas y curva de Engel.
2. Hemos vuelto a ver las características de las curvas homotéticas.
3. La semana pasado se dieron los conceptos de bien normal y bien inferior. En este punto el profesor ha querido ser algo más universal y nos ha preguntado si lo siguiente son bienes inferiores o normales: “la participación política”, “la contaminación”, “el futbol”, “el gasto en armamento”, “la libertad religiosa”. Y ha sido un poco raro porque él mismo no ha dado solución -creo- a si hay más o menos libertad religiosa cuando aumenta la renta.
4. hasta es momento estábamos mirando cómo afecta la renta a la demanda de un bien.

¿cómo afecta el precio a la demanda de un bien?
Y de aquí sólo he tomado nota de que el precio reserva es la cantidad de dinero que se está dispuesto a renunciar por un bien adicional.

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Microeconomía II del 2 de marzo

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Da un poquito de pena:

Resulta que el año pasado tardé unos días en comprender el concepto de “elasticidad” en Microeconomía I. Entonces yo tuve la sensación de que la profesora no desarrollaba la idea del concepto, no explicó su utilidad, y simplemente lo plantó en la pizarra. Hoy, que ya sé lo que es porque llevo más de un año manejando el concepto, el profesor de Microeconomía II (2) nos lo ha explicado de cero, y hasta lo ha pretendido explicar con tanta sencillez que se ha líado él solito.

Da pena porque parece que no existe comunicación entre profesores. ¿hacía falta dedicar una hora a explicar un concepto fundamental que ya se habló en Microeconomía I?

Esa mezcla de explicar algo básico, con el que se haya liado en sus propias explicaciones, ha dejado una atmosfera rara en clase; así como de asco. La gente se ha puesto a hablar, y el profesor se ha ido cabreando por la falta de silencio.

Así están siendo algunas clases…

A mí ya me va bien que sea así; una clase sencilla que ayuda a comprender pequeños detallitos que se me habían pasado por alto hasta hoy, pero ya llevamos casi un mes de clase y a veces me JODE sentir que estoy perdiendo el tiempo. Porque si estoy en clase no estoy trabajando de lo mío.

Sobre la elasticidad:

La elasticidad es una forma de medir la correlación entre dos variables. Existen varios tipos de elasticidad según si son mejor/peor explicativas de lo que sucede en la realidad.

La elasticidad da como resultado una cifra que indica en qué prorporción una variable afecta a otra. Si la proporción es 1:1 (elasticidad = 1) es que por cada incremento de A se da un incremento de B. Si la elasticidad es superior a 1, es que por cada incremento de A se un incremento más que proporcional de B. Si la elasticidad es inferior a 1 es que por cada incremento de A se da un incremento menos que proporcional de B. Y si la elasticidad es cero, es que incrementos de A no afectan ni provocan incrementos de B.
Si la elasticidad es negativa se interpreta igual, pero nos indica que los efectos son inversamente proporcionales (a un incremento de A, se da un DEcremento de B).

Si calculamos variaciones en términos absolutos (p.ej. si se baja el precio de las manzanas en 10 céntimos se incrementa su demanda en 1 kilos por persona/semana), tenemos el problema de mezclar euros con kilos, la elasticidad (que en este caso sería 1/-10 = -0.1) no permite hacer una interpretación correcta.

Si calculamos variaciones porcentuales (si el precio de kilo manzana era de 2 euros, la reducción ha sido del -5%, y suponiendo el consumo de 3 kilos, el incremento ha sido del 33%) ahora la elasticidad tiene más sentido; 33/-5 = -6.6. Esto indica que cada variación de un -1% del precio del kilo provoca un incremento de la demanda de 6.6 veces.

Sin embargo hasta ahora lo que se hace es calcular
Bien que no varia / bien que varía
Y esto tiene el problema de que si no sabemos cuál ha variado primero entonces tendremos dos elasticidades completamente diferentes;
a) -5/33 = -0.1515
b) 33/ -5 = -6.6

Esto es ELASTICIDAD ARCO. Y por este motivo no nos es útil a nivel de estudio económico. Es confuso. Y nos ha dicho que si sale en el examen será algo raro, aunque puede que, como en el ejemplo que he expuesto yo, nos den “el orden en que suceden las cosas” y entonces a sí que se sabe interpretar bien. La elasticidad arco es medir movimientos a lo largo de un recta;
% de variación de un bien / % de variación del otro bien

Lo que sí funciona es la ELASTICIDAD EN UN PUNTO. Lo que se hace es ayudarse del concepto de la derivada para medir el efecto de las variaciones del bien en un espacio infinitamente pequeño; Cómo afecta la variación infinitesimal de un bien sobre el otro. Aquí ya nos ahorramos el problema de medir esas “distancias” sobre la recta.

Se consigue derivando la función de demanda respecto el precio. El único problema es que la función debe ser derivable.

Se dirá que un bien B es elástico (sensible) si la variación infinitamente pequeña de A provoca grandes efectos en B.
Se dirá que un bien B es inelástico (insensible) si la variación infinitamente pequeña de A no provoca cambios en la demanda de B. Por ejemplo la gasolina; si mañana la suben 10 céntimos el litro la gente seguirá llenando el depósito… y si la suben 1 euro casi que también, porque hay quién no tiene más remedio.

Si un bien…
1. tiene sustitutos, será más elástico. Si dos bienes me reportan la misma satisfacción y uno se encarece, compraré el que sigue teniendo el mismo precio.
2. a largo plazo la gente encuentra soluciones, y los bienes son elásticos (si sube la gasolina de aquí diez años apareceran nuevos motores basados en otras energías).
3. cuánto más definido y concreto sea un bien, más fácil que tenga sustitutos con lo que más elástico será. Si voy al super y me encuentro una bolsa de “pipas tostadas peladas con sal”, si sube un poco de precio compraré cualquier otro fruto seco que sea más barato. Por el contrario, cuanto más genérico sea más inelástico será (si suben el precio de los alimentos… yo debo seguir comiendo).
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Microeconomía II del 1 de marzo

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Tenemos diversas relaciones entre la recta de balance (la restricción presupuestaria) y las curvas de indiferencia (las combinaciones de cestas que ofrecen la

misma satisfacción). Por lo visto hasta ahora parece que el punto óptimo es aquel que la recta de balance hace de tangente de la curva de indiferencia. Sin embargo…

1. Si los bienes son complementarios.
El punto de equilibrio es el vértice de la “L”. Es un punto que no tiene pendiente con lo que el equilibrio no es tangente de nada, simplemente es el punto que mantiene la proporción de los bienes intercambiables. Si hablamos de zapato derecho y zapato izquierdo la proporción es 1:1. Si hablamos de carrocería de coche y ruedas, la proporción es 1:4.
El individuo buscará un punto óptimo que
1) cumpla la proporción
2) esté al límite de su reestricción presupuestaria.
La curva 1. está por debajo de sus posibilidades y no da toda la satisfacción posible. La curva 3. está por encima de las capacidades adquisitivas. La curva 2. será la elección.

2. Si los bienes son sustitutos perfectos.
El punto óptimo tampoco cumple que sea tangente de nada. Simplemente es el punto más alejado del eje de coordenadas lo que supone que estamos utilizando toda nuestra capacidad y buscamos la máxima satisfacción posible. La curva 1. son dos bienes complementarios que están por debajo de nuestras nivel máximo de satisfacción. La curva 3. es inalcanzable. La curva 2. es la más apropiada.

Estas situaciones se dan por el tipo de convexidad de la curva de balance. Y estos gráficos bienen a demostrar que la tangencia es una condición necesaria pero NO suficiente para que exista un punto óptimo:

1. Existe un “tramo” donde hay numersos óptimos. No existe uno sólo, con lo que la tangencia no nos ayuda a determinar dónde está la máxima satisfacción.

2. Existen dos curvas de indiferencia que comparten una misma recta de balance, el punto B parece un óptimo porque cumple tangencia… pero no lo es, A y C pertenecen a una curva más alta.

3. Si las curvas son cóncavas la tangencia no es la solución. El punto más alejado del eje es el que ofrece la más alta satisfacción y se consigue con el punto de la curva 3. y ahí no hay tangencia.

Ninguno de estas 3 situaciones anteriores son estrictamente convexas. Así, por definición:

- Si las preferencias son estrictamente convexas y se eligen valores positivos (no se puede elegir “menos”1 barra de pan), en un óptimo la pendiente de la recta de balance será tangente a la curva de indiferencia.

También puede suceder…

Que la recta de balance sufra un punto de inflexión. Esto sucede cuando hay impuestos, subvenciones o restricciones de tiempo/dinero por cualquier causa. Pueden darse un par de situaciones:

curva 1. cumple la tangencia
curva 2. que exista un punto NO tangente pero sí óptimo; en esta situación la tangencia no es necesaria ni suficiente (ha dicho que es algo rarísimo, pero que al igual es pregunta de examen).

Formalmente la búsqueda de un óptimo es un problema primal (ahora recordamos la asignatura de optimización económica, donde a partir de una función de utilidad y unas restricciones buscábamos el punto de máximo beneficio (primal) o el punto de mínima pérdida (dual). http://ecosdelaeconomia.blogspot.com/search/label/Optimización%20económica)

En el problema primal tienes
1. una función de utilidad a maximizar
2. una restricción presupuestaria que es m = sumatorio de precio x bienes que conforman la cesta
3. la condición de todos los valores positivos

aplicando lagrange se obtiene
L = función de utilidad + multiplicador x (reestricciones igualadas a cero).

La función de utilidad debe ser continua y derivable y también estrictamente convexa.
El resultado final es una función de demanda: relaciona el precio de todos los bienes, la renta y otras variables exógenas (cualquier cosa; como que cuando hace frio la gente busca ropa de invierno, más cara que la ropa de verano).

El resultado final es una función de demanda.

Puede suceder que dos individuos, ante la elección de dos bienes, compartan preferencias estrictamente convexas y tengan puntos óptimos tangentes a una misma restricción presupuestaria (cobran la misma nómina, pero uno gasta más en comida y el otro gasta más en ropa). Pero relativamente los puntos tangentes son intercambiables. Sucede cuando tienen preferencias diferentes PERO comparten los mismos precios. Lo que se está cumpliendo es que comparten la misma relación marginal: si uno decide comer más y vestirse menos, será proporcional a si el otro decide vestirse más y comer menos.

El multiplicador lagrangiano expresa la utilidad marginal de la renta. Esto es esencialmente útil porque, dado un individuo ante una cesta de numerosísimos bienes, el multiplicador lagrangiano me dice cómo variarán su gasto general si el resto un impuesto a su nómina o le ofrezco una subvención, y no tengo que investigar el efecto de este incremento/disminución sobre cada uno de los bienes que conforman su cesta. Esto es muy útil para el Estado porque simplifica el estudio de las consecuencias de sus actuaciones sobre la renta.
EL RELOJ MARCA 11:21 0 OPINIONES
RELACIONADO CON: Microeconomia II
lunes 1 de marzo de 2010

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Microeconomía II del 15 de febrero

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(tengo que buscar un programa de dibujo que no sea el Paint…)

1.
Bienes sustitutos perfectos. X1 es como si fuera X2, p.ej. cuando voy al supermercado y compro arroz bomba o arroz normal, a mí me importa un pito y uno me gusta tanto como el otro.

En este caso la curva de indiferencia es la misma para ambos, en realidad es como si estuvieras observando un sólo bien; no cumple la convexidad porque son indistinguibles.

2.
Complementarios perfectos. El ejemplo de siempre es que si te compras un zapato izquierdo necesitas su complementario; el zapato derecho. Como si los vendieran por separado.
Necesitas la misma cantidad de uno que de otro, todo X1 superior a X2 (o al revés) es inútil. La relación marginal de sustitución es cero. Nunca renunciarás a un X1 para tener uno más de X2, como se obliga siempre a una proporción 1:1, no cumple el axioma de “cuanto más mejor”. Si se unen los puntos entre las diversas “L” se tiene una recta de 45º, es en ella donde se querrá situar el consumidor.

3.
Bienes perjudiciales. Puede ser que tengas un bien bueno y otro perjudicial y en tal caso (por ejemplo producción/contaminación) existirá un momento en que el consumidor exigirá un incremento infinito del bien bueno por otra unidad más de bien perjudicial.

Si sucede que son 2 bienes malos cualquier situación que ofrezca menos cantidad de ambos bienes será la deseada y la curva de indiferencia se aproximará a cero (el eje de coordenadas)

4.
Neutrales. Dada una cantidad del bien que sí nos importa, la cantidad del otro importa nada.

ó

5.
Saciedad. Cualquier variación no nos interesa, y nuestro punto es más deseado que cualquier otro.
Fuera del punto central la intención sería corregir para volver al centro.

6.
Las rectas homotéticas son aquellas que al incrementar la cantidad de la renta en “k”, la demanda de bienes se incrementará en “k” también.
Las curvas de indiferencia presentarán la misma pendiente aun estando a alturas diferentes.

7.
Las preferencias cóncavas se dan con bienes adictivos, donde a partir de cierto momento eres capaz de ceder “inifinitos” X2 para incrementar una sóla unidad más de X1.

Después hemos hecho un ejemplo bastante sencillo de lógica, sólo para justificar que teniendo una función de utilidad se puede aplicar una transformación monótona (que conserva las proporciones) para “manejarla” con facilidad, es decir;
Se puede jugar con la función para hacerla derivable y poder encontrar la pendiente (punto óptimo).

Es pregunta de examen obtener la curva de indiferencia a partir de la función de utilidad.
EL RELOJ MARCA 19:26 0 OPINIONES
RELACIONADO CON: Microeconomia II
domingo 14 de febrero de 2010
Microeconomía II del 10 de febrero
Hemos terminado de repasar los axiomas que sustentan las preferencias de los consumidores. El que faltaba por ver era

5. de la convexidad. Este axioma supone que
a) siempre que sea posible, aceptaremos cestas con más cantidad de bienes.
b) Existe una continuidad entre cestas del mismo campo convexo
c) la convexidad estricta da ese dibujo “curvado” a la curva de indiferencia. Así se obliga al consumidor a elegir siempre combinaciones de bienes y no vale decir que, por ejemplo. “sólo quiero un X2″ y olvidarse de X1.

Interpretación económica de la convexidad:

- el consumidor prefiere la variedad: esto lo explica la continuidad: la media de dos cestas es un punto intermedio tan bueno como cualquiera de los otros dos extremos.
- la pendiente de la curva de indiferencia no es lineal, uno se resite a caer en los extremos (lo explica también que por mucho que te guste la pizza, nadie se pasaría una semana comiendo sólo eso).

La RELACIÓN MARGINAL DE SUSTITUCIÓN: por cuántos X cambiarias 1 Y?
-es una medida de disposición marginal al pago.
- cuánto estás dispuesto a renunciar de tu renta para comprar algo y quedarte exactamente con el mismo nivel de satisfacción.
- es una pendiente negativa: si baja X, aumenta Y
- es decreciente, por el principio de escasez.
EL RELOJ MARCA 19:13 0 OPINIONES
RELACIONADO CON: Microeconomia II
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Microeconomía II del 9 de febrero

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Hemos empezado con el tema 1. Consumo.

¿qué le gusta al consumidor? ¿cómo ordena sus gustos? ¿qué puede tener?

Para enfrentarse a estas cuestiones parece ser que la microeconomía se basa en la lógica matemática. Con lo que salen teoremas, con axiomas, que no sirven para decir “cómo” organizamos nuestras decisiones pero que sí pueden replicar “qué” decidimos. Además hay que “acotar” la irracionalidad del ser humano en la racionalidad de las matemáticas…

Olé.

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PREFERENCIAS.

Los objetos considerados por el consumidor son todos los bienes que integran las infinitas combinaciones de cesta de bienes.
n = número de bienes.
Este número “n” será real y positivo.

Por ejemplo, si yo preparo una cesta de bienes llamada “bocadillo” que incluye 3 componentes (tomate, lonchas de jamón y lonchas de queso) = X = (X1, X2, X3)
La cesta “bocadillo” será R^3, y será el conjunto de todas las combinaciones de n tomates, n lonchas de jamón y n lonchas de queso.

Sigo con el ejemplo, si la restricción es poner 5 cantidades (5 tomates, o 5 de jamon, o 5 de queso,… o… 3 tomates+1 jamón +1 queso, o… 1 tomate+ 2 jamon + 2 queso… todas las combinaciones posibles), existirá por ejemplo la posibilidad de escoger entre dos cestas:

cesta “bocadillo” X = (3 t, 1 j, 1 q)
cesta “bocadillo” Y = (1 t, 2 j, 2 q)

Tal vez un individuo prefiere la cesta X que tiene más tomate, frente a la cesta Y que tiene menos tomate y más jamón y queso. En ese caso se dice que para tal individuo
X “es al menos tan buena como” Y

Esto se escribe en lógica matemática con el símbolo  .
XY

esto incluye que
1. X es mejor que Y
2. X es igual a Y
Relación de indiferencia: X es indiferente a Y porque se da la vez XY y YX . Como si el individuo no tuviera preferencia por cómo se distribuyen cinco tomates y jamones y quesos en el bocadillo.

Relación de preferencia: XY, que significa que X siempre será mejor o igual que Y (XY) pero nunca sucederá lo contrario (¬YX… esto se lee como que “nunca” Y será igual o mejor que X). Ante las dos opciones, el individuo siempre elige la misma.

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AXIOMAS

Lo que entiendo es que si nos vamos a poner a estudiar matemáticamente las preferencias de los consumidores frente a oferta de bienes y cestas de bienes, hay que evitar aquellas situaciones que escapan a la matemática… vaya, lo que es la irracionalidad humana. Hay que obligar al individuo a escoger siempre (axioma de completación) y no vale decir “no sé qué prefiero”. También se supone que los bienes son comparables (axioma de transitividad). También hay que obligarle a no quedarse con más de lo que existe o con menos de lo que puede coger (axioma de no saturación). Se le obliga a suponer un gusto “continuo” donde no hay saltos en sus preferencias (axioma de continuidad). Se le supone que siempre que se ofrezcan cantidades superiores, le gustará más (axioma de convexidad)… y en la convexidad viene incorporada la obligación de NO poder elegir extremos y SÍ tener que elegir siempre combinaciones.

Axiomas:

1. de “completación”: para cualquier par de cestas que pertenezcan a un subconjunto (nuestro campo de estudio, en mi ejemplo el bocadillo), o prefieres la cesta X, o la Y, o ambas, pero la respuesta “no prefiero ninguna” no es válida.

2. de transitividad: Si XY, y a su vez YZ, entonces se supone que XZ… en esta situación se entiende que los bienes son comparables, y que Y=Z. Esto falla cuando vamos encadenando muchas comparaciones que tienen una diferencia muy pequeña, por debajo de nuestro nivel de percepción, nos damos cuenta de qué preferimos más cuando comparamos los extremos.

Las PREFERENCIAS RACIONALES son las que cumplen estos dos primeros axiomas. Y ya permite que se dibuje la curva de indiferencia que refleja todas las multiples combinaciones de cestas que nos reporta el mismo nivel de satisfacción.

Todas las X que son exactamente igual de preferidas que  es el conjunto frontera. Y siempre que hablemos de estos bienes, no podrá existir otra curva de indiferencia; los axiomas 1. y 2. nos han obligado a dibujar una única curva de indiferencia, y si se dibujase otra diferente estaríamos contradiciendo la lógica de la transitividad y de la completación.

3. no saturación: La idea básica es que “cuanto más en la cesta, mejor”. Colocarse por la parte inferior de la curva de indiferencia (el campo A) contradice esta idea y por lo tanto nunca se cumple; siempre eligiremos la mayor cantidad posible. La zona B tampoco es posible porque al estar por encima de la curva de indiferencia, son todas esas nuevas combinaciones con más cantidad de bienes de los que se ofrecen. Es decir, la curva de indiferencia ya ha elegido todos los bienes posibles, y no hay más cantidad.

La excepción a esta situación es cuando una mayor cantidad de un bien en la cesta es perjudicial para el consumidor. El ejemplo que siempre se pone es el de la contaminación…

Este axioma también da una nueva condición: la curva de indiferencia NO es una curva gorda con un área; eso supondría que habría diminutas pero perceptibles diferencias de cantidad que NO es posible que nos reporte la misma satisfacción. La curva de indiferencia no tiene área.

Si suponemos algo “malo”, entonces la curva de indiferencia tiene un dibujo diferente:

Y lo que refleja es “cuánto más quiero de X2 para añadir una nueva cantidad de X1 (lo malo). Se supone que hay un momento en que X1 es tan perjudicial, que ya quiero infinitos X2 para sentirme satisfecho. Por eso crece de forma exponencia.

4. de continuidad: este axioma es necesario para mantener la convexidad. Entre dos puntos del gráfico se puede trazar una linea recta que NO DEBE cruzar la curva de indiferencia. Si lo hiciera, significa que nuestra satisfacción sale del campo convexo y refleja situaciones que contradicen los axiomas 1. y 2.

EL RELOJ MARCA 17:49 0 OPINIONES
RELACIONADO CON: Microeconomia II

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Microeconomía II del 8 de febrero

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Pues ya han empezado las clases del segundo semestre. Hoy de momento clase de iniciación, sólo para tomar contacto.

El profe se llama Ausias Ribó. Coleta y tejanos. De libros ha dicho que no seguirá ninguno especialmente, y que ya saldrá un libro de problemas en el campus virtual. Y que él le da mucha importancia -a los problemas-.

La asignatura va en 4 bloques; consumo, producción, mercados e intercambio.

Y luego para explicarnos cómo funciona el tema de la evaluación continuada, se ha hecho un poco de lío. Algo que cuando estás haciendo la toma de contacto no mola. Porque si hoy se hacía un lío, y borraba lo escrito y reescribía… me gustará verlo cuando estemos con marginalidades arriba y abajo de los gráficos.