Optimización económica
Fuente: Getan Olivan, Jesus Fco.
Tengo que pedir disculpas porque en el anterior editor no podía escribir adecuadamente fórmulas matemáticas, así que muchos de los siguientes apuntes pueden parecer un poco… ¿exóticos?
viernes 29 de mayo de 2009
Segundo parcial de Optimización Económica
Qué asco…
eran 3 problemas, el primero sobre optimos con restricciones de desigualdad que se resolvía mediante Kuhn-Tucker. Me ha salido bien, pero no me fio un pelo de cómo corrije el tío este.
Pero el segundo y el tercero eran horribles. Uno sobre programación cuadrática que tenías que buscar la función objetivo a partir de unas varianzas, esperanzas y covarianzas. Como no me miré estas fórmulas porque ya bastante tenía con aclararme con las cosas de optimización, no he sabido qué hacer. Al final he respondido de forma genérica, y para rematar me he descubierto escribiendo un “…lo siento” al final de mi respuesta.
Con un poco de suerte si le hago reir, subirá la nota.
El tercero nada, no he hecho nada. Simplemente no sabía qué coño hacer.
//
domingo 24 de mayo de 2009
Optimización económica de 22 de Mayo
Minimizar una función f(x,y) sujeto a g1 y g2.
1.
Le damos la vuelta a las restricciones -si toca- para que queden en mayorigual (porque estamos en minimizar).
2.
Escribimos la Lagrangiana
3.
Escribimos las condiciones de K-T
1) Derivadas parciales igualadas a cero
2) a(g1)=0 y etc
3) a, b mayorigual que cero
4) las restricciones originales
Editamos una matriz donde colocar estas condiciones, si tenemos ocho hacemos una matriz de 3×3 y en la novena casilla ponemos “cero”.
4.
gradiente de la lagrangiana respecto [x,y]
5.
Editamos la matriz anterior y donde teniamos lo de las derivadas parciales colocamos las funciones que hayan dado los gradientes de la lagrangiana (con los valores de “a”, “b”, etc)
6.
mediante los gráficos buscamos las restricciones que se saturan por la función objetivo. Hacemos un sistema de ecuaciones y buscamos los puntos óptimos
7.
Aquellas restricciones de la matriz que saturan colocamos un “a=/0″… y las que no saturan las dejamos en “b=0″… y también la restricción que satura colocamos un = en lugar del mayor/menor que haya.
8.
simplificar/sustituir variable/… si b=0 … iremos resolviendo variables.
9.
una vez con el valor de “a” volvemos a las derivadas parciales y lo sustituimos, así obtenemos los valores de “x” e “y”
10.
con la hessiana de la lagrangiana verificamos si es un mínimo.
sábado 23 de mayo de 2009
Optimización económica de 21 de Mayo
Minimiza f(x,y) sujeto a 6 restricciones g(x,y)
1. Dibujamos en derive las 6 restricciones para ver el campo factible
2. dibujamos en derive la función objetivo y le damos diversos valores para ver cómo avanza por el campo factible
3. desechamos las restricciones que quedan fuera del campo factible (si se da el caso)
4. Jacobiana de las restricciones, sólo para ver que son linealmente independientes.
5. escribimos la Lagrangiana
6. le “damos la vuelta” a las restricciones para que todas queden en “mayorigual”, ya que vamos a minimizar.
7. las condiciones de K-T serán
- a(g1(x,y))=0
- b(g2(x,y))=0
- etc…
- a mayorigual que cero
- b mayorigual que cero
- etc…
- dL/dx = 0
- dL/dy = 0
- g1(x,y)
- g2(x,y)
- etc…
9. las derivadas parciales de la lagrangiana me dará un sistema de ecuaciones del tipo
dL/dx= (2x-3)+5a+d= 0
dL/dy= 2(y-1) -2a +2d = 0
y sustituyo x,y, por los óptimos que he encontrado antes… obtendré los valores “a”, “d”, etc
10. si todo es correcto, se me irá confirmando cada igualdad y cada restricción en la matriz que haya montado en el derive.
11. al final obtendré una solución del tipo (1,2 ; 1,0,0,0,1,0)…
donde (1,2) será el (x,y) óptimo y (… ; “son lo precios sombra”). A estos precios sombra, que son las lambdas del lagrangiano se le llamana “multiplicadores de Kuhn-Tucker.
12. si se tiene ganas montas la matriz hessiana -con las derivadas segundas- para confirmar que el punto es un mínimo
lunes 18 de mayo de 2009
Optimización económica del 15 de Mayo
Tenemos una función de producción f(x,y,z)= (X*Y)/2 + (Z^2)/8
sujeto a
g(x,y,z) … X+2Y+5Z = 484
p(x,y,z)…. X+Y+Z = 120
X,Y,Z mayorigual cero
solución en derive:
1) Montamos la jacobiana
“JACOBIAN (de las dos restricciones)”
y miramos qué rango tiene
2) Gradiente de la función Lagrangiana;
GRAD(f(x,y,z) + a[g(x,y,z)] + b[p(x,y,z)], [x,y,z,a,b]) … introducir y simplificar… y así obtenemos el punto, que en el ejemplo era (20, 12, 88 ; 4, 2)
3) montamos la hessiana de la lagrangiana (esta vez en función de x,y,z nada más…!)
GRAD(GRAD(… ,[x,y,z]) , [x,y,z])
4) Miramos si es def. positiva / negativa, etc…
EIGENVALUES(matrizhessiana)
5)si sale indefinida o semidefinida, suponemos un vector (a,b,c) y
Multiplicas la matriz jacobiana por [a,b,c]…. al dar a aproximar saldrán dos ecuaciones
a+2b+5c=0
a+2b+c=0
Resolvemos la expresión y dará como resultado (3c, -4c, c)
Multiplicamos este punto por la matriz hessiana y a su vez por el mismo punto
[3c, -4c, c]*(#hessiana)*[3c, -4c, c]
y obtenemos que
c= -11.75c^2
como siempre se multiplica el valor “c” por menos 11.75… el resultado siempre será negativo:
si siempre negativo : es definida negativa… el punto encontrado antes es un máximo.
En el segundo ejercicio hemos planteado un problema con restricciones de NO igualdad, que se resuelve con Kuhn-Tucker.
Pero yo tenía que marcharme…
Optimización económica del 14 de Mayo
El examen parcial me fue fatal, porque a pesar de que acerté en los resultados de los problemas, lo que contaba más era demostrar que sabías porqué llegabas a esos resultados. Había un apartado donde te preguntaban qué pasaría si se modificaba una de las variables del problema. Yo me salté el escribir/explicar que la modificación planteada se salía del rango de la solución incial, y que por eso había repetido el problema.
Sin embargo la última practica la entregué sabiendo que pecaba de lo mismo, porque después de romperme los sesos para desentrañar el qué de cada ejercicio, ya estaba hasta los huevos y no me daba la gana de perder ni cinco minutos en escribir lo evidente. Y me han puesto un 100%…
… yo no entender.
Segundo:
Llevamos tres clases de teoría haciendo lo mismo. Lagrange.
La única novedad ha sido explicarnos/demostrarnos las condiciones de Kuhn-Tucker…
1) Si X* es solución, entonces
2) Si X* es regular -tiene rango “n” restricciones saturadas-.
3) Y cumple también Lagrange….
se cumplen cuatro cosas que no sé verles el qué. Como siempre, gracias wikipedia…
http://es.wikipedia.org/wiki/Condiciones_de_Khun_-Tucker
jueves 14 de mayo de 2009
Optimización económica del 8 de Mayo
Dada una función f(x) con una serie de restricciones, el procedimiento era
1.
JACOBIAN[de las restricciones, y pulsando el botón "aproximar" para que haga la matriz]
2.
RANK[de la matriz anterior para ver qué rango tiene la matriz jacobiana]
3.
hacer el grad de la función de lagrange… la única diferencia con teoría es que como en el Derive no existe el símbolo “lambda” se usa “a” o “b”, etc…
4.
con el grad(grad(f(x))) aparece la matriz hessiana
5.
EIGENVALUES(de la matriz anterior sirve para calcular los VAPS y saber si es definida positiva o negativa, y así saber si los puntos críticos encontrados son máximos o mínimos).
martes 12 de mayo de 2009
Optimización económica de 7 de Mayo
Por ejemplo:
Minimiza
x^2 – 2y
sujeto a x+y=1
a) jacobiano de la restricción da una matriz
(1, 1)… de rango 1.
b) Lagrange…
x^2 – 2y + L(1-x-y)
c) derivadas parciales sale el sistema
2x-L = 0
-2 – L = 0
x+y=1
d) obtenemos el punto
(-1, 2; -2)
e) la matriz hessiana sale
(2, 0)
(0, 0)
no es ni definida positiva ni negativa
f) un supuesto vector (a, b) multiplicado por la jacobiana (1,1) da
a + b = 0
… a = -a
… (a, -a)
g) (a, -a) multiplicado por la matriz hessiana multiplicado a su vez por (a, -a) [en columna]… da
2a^2… que siempre será mayor que cero: def. positiva… (-1, 2) es un mínimo.
domingo 3 de mayo de 2009
Optimización económica del 30 de Abril
Esperaba que aclarase un poco lo que vimos en la práctica de programación cuadrática (cuando éramos nada más que cinco en clase). Pero no. No ha explicado “nada práctico”…
martes 28 de abril de 2009
Optimización económica de 24 de Abril
La esperanza.
La varianza.
La covarianza: Mide la variabilidad de una variable respecto otra. Si es cero es que no tienen relación.
La varianza da variables al cuadrado. La covarianza da XY… Con esto tenemos una función cuadrática.
La forma cuadrática sirve para crear una matriz, con los índices de las variables al cuadrado en la diagonal principal, etc.
La función objetivo será la parte lineal de la función cuadrática.
Y la matriz, la función objetivo y las restricciones se insertan (fácil) en el WINQSB, en el quadratic programmin
viernes 17 de abril de 2009
Optimización económica de 17 de Abril
Como iba acojonadillo ayer me desperté prontito y me tomé el día entero para estudiarlo. Empecé por escribir a grandes trazos las cuatro ideas de teoría que hay, los 4 “trucos” sobre cómo escribir de forma matemática mezclas, proporciones, etc… y finalmente me dediqué a repetir todos los ejercicios que habíamos acumulado hasta hoy.
Terminé a eso de las dos de la noche, algo saturado, y luego tuve un sueño raro y claustrofóbico; me sentía inútil y tonto.
Pero cuando me han repartido el examen me han venido a la cabeza todas esas tonterías que ayer no entendía del todo. El primer ejercicio era un “primal” que había que pasarlo a “dual”. Creo que lo he hecho bien y punto.
El segundo era uno de maximizar el beneficio en una serie de inversiones. Justamente ayer me quedé enganchado en uno de los que ya hicimos porque no entendía por qué existía una restricción tipo:
Inversión1+inversión2+etc… = 1 !?
…pero mientras hacía el examen h comprendido que así le dices al programa que te dé el % del capital que vas a dedicar a cada inversión. Y creo que me ha salido bien.
Me he sentido tan feliz que al compañero de al lado le he preguntado qué tal le iba, me ha mirado con pena y le he girado un poco la pantalla del ordenador para que pudiera ver cómo lo estaba haciendo yo. La cosa se ha contagiado, porque la chica de mi izquierda me ha preguntado en voz alta qué cómo se hacía una cosa… así que le he mostrado luego la pantalla a ella. (ahora es cuando tengo el ejercicio mal y nos vamos los tres a tomar por saco).
El tercero era un problema de asignación. Por suerte, y antes de meterme en callejones sin salida, el compañero de al lado me ha chivado que se hacía por el programa de “network modeling” del winqsb, y no el del linear programin por dónde tiraba yo. En un momento ya lo tenía solucionado…
Cuando entregas el examen estás feliz. Cuando caminas por el pasillo empiezas a dudar. Cuando vas camino de casa estás viendo bailar las variables del problema como un torbellino por delante de ti. Ahora mismo me importa un pepino todo.
domingo 12 de abril de 2009
Optimización económica del 2 de Abril
Las formas cuadráticas son circunferencias, parábolas,… Nos ha hablado de cómo es la fórmula de una esfera en 4 dimensiones, de qué sucede cuando es una función definida positiva (U) o definida negativa (U invertida)..
Nos ha definido la idea de “función diferenciable”: una función es diferenciable si en un punto determinado se puede trazar un plano tangente. Después, la derivada segunda indica “a qué lado está” el plano… La DIFERENCIAL es que puedes colocar un plano tangente y todas las derivadas direccionales están en ese plano. Es decir; es una idea de regularidad, de que no existen “rugosidades” que te impiden colocar un plano tangente.
Nos ha explicado que si tienes una función f(x) y estás en minimizar, para maximizar sólo tienes “que darle la vuelta”, esto es; multiplicarlo por -1…
Minimizar; f(x)… Maximizar (-1)*f(x)
También ha recordado la idea de conjunto cerrado… [a, b] … esto es, todo lo que haya entre a y b, incluidos, forma parte del conjunto.
Y abierto… (a, b)… esto es, todo lo que hay entre a y b forma parte del conjunto PERO no a y b. Las fronteras no están incluidas.
También nos ha introducido un par de ideas de estadística;
La Varianza mide la “dispersión”…
Puedes estar en el desierto y decir que la media de la altura respecto al mar es de 100 metros, porque todo el desierto está 100 metros por encima del nivel del mar. Y puedes estar en una cordillera de montañitas y decir que la media de altura también es de 100, porque entre picos y valles la media de la altura es también de 100.
Pero mientras en el desierto TODO es plano (la varianza es mínima), en la cordillera de montañas hay más dispersión; tienes picos y valles, y la varianza es mayor.
Una forma de invertir en carteras de valores es minimizar el riesgo. El riesgo es que una acción tenga una varianza elevada; que a lo largo del tiempo dé bandazos y hoy valga 0,50€ y mañana 200€. Si quieres minimizar el riesgo buscaras la mínima varianza.
Cuando dispones de una serie de valores, y tienes una historia de sus precios en un periodo de tiempo, puedes crear una forma cuadrática para buscar la inversión óptima. Esto se consigue creando una función objetivo sumando las varianzas de cada valor (X), y sumando también las covarianzas (Y).
X1 + X2 + X3 + 2Y1 + 2Y2 + 2Y3
… de esta función objetivo puedes extraer una forma cuadrática y disponer una matriz.
martes 7 de abril de 2009
Optimización económica de 26 de Marzo
Se trata de añadir la dimensión del tiempo a los problemas que ya veníamos haciendo. Esto es; la producción de un momento se puede almacenar para más adelante.
A la función objetivo se le tendrá que añadir las siguientes restricciones…
1- el coste del almacenamiento
2- la cantidad almacenada
3- la cantidad producida
4- la demanda de cada momento
Como siempre explica a toda leche y como si nosotros ya le entendiéramos fácil…
como curiosidad ha dibujado la curva de almacén… en un gráfico dibujas la producción almacenada al principio y al final de cada mes. El área de cada momento se calcula como
.. la integral de (la cantidad producida/tiempo que está en el almacén)
sucede lo mismo con la especulación. Hay que añadir
1- la cantidad comprada en un periodo
2- la cantidad vendida durante ese periodo
3- la cantidad almacenada
..y normalmente no se vende nada en el primer periodo -es cuando empieza la especulación- ni almacenas nada en el último periodo -es cuando terminas el juego-.
sábado 4 de abril de 2009
Optimización económica del 19 de Marzo
mejor con ejemplo:
tenemos una función objetivo a maximizar (soy un pastelero y tengo productos (150 de harina, 22 de azucar y 27,5 de mantequilla) con los que hago pasteles, A y B, que vendo a tanto cada uno… y quiero sacar el máximo provecho)
20A + 30B
sujeto a
3A+6B menorigual a 150 (Kg Harina)
1A+0.5B menorigual a 22 (Kg Azucar)
A+B menorigual a 27,5 (Kg Mantequilla)
El resultado que da el WINQSB es que lo mejor es hacer 5 pasteles A, 22,5 de B y da un beneficio de 775€.
La dualidad…
ahora llega alguien que quiere comprar el negocio. Como comprador no querrá pagar más del beneficio que puede dar el negocio. Por lógica no pagaría nunca más de 775. Y el pastelero no lo venderá por menos. La “dualidad” es el punto de vista del comprador, que quiere minimizar el coste de comprar el negocio.
Lo que antes era maximizar, ahora es minimizar. Lo que sucede es que ahora las variables a minimizar son las restricciones que teníamos antes (los kilos de harina,etc) mientras que las restricciones que tenemos son el precio que tienen los pasteles.
La función a minimizar son el valor de las restricciones…
150H+22A+27.5M
sujeto a
3H+A+M mayorigual a 20
6H+0.5A+M mayorigual a 30
* lo que antes era menorigual ahora es mayorigual
* la Z sigue siendo 775, pero ahora el resultado que da es el precio al que tienes que vender la H, el A y la M. “vendes el material por lo que ganarías si trabajaras”… esta es la dualidad.
* el dual del dual es el primal
* si uno no tiene solución, el dual tampoco.
Lo que yo entiendo es que teniendo la opción de seguir trabajando o vender el negocio, la dualidad te permite tener la misma Z (el mismo beneficio) pero te permite observar de una tacada los rangos en los que te puedes mover si sigues trabajando, o si vendes el negocio…
Yo me entiendo.
Otro ejemplo
Queremos minimizar la cantidad de material para producir M1 y M2, en base a la cantidad total de Resist, Capac. y Chips que tenemos (1200, 100 y 800, respectivamente).
función objetivo a minimizar
1200P1 + 1000P2 + 800P3
sujeto a
2P1 + 2P2 mayorigual a 3
3P1 + P2 + 4P3 mayorigual a 4
la dualidad
función objetivo maximizar
3Q1 + 4Q2
sujeto a
2Q1 + 3Q1 menor igual a 1200
2Q1 + Q2 menorigual a 1000
4Q2 menorigual a 800
miércoles 18 de marzo de 2009
Optimización económica del 13 de Marzo
en el winqsb la columna “reduced cost” vendría a ser el “coste de oportunidad”. Si al resolver el problema de asignación una de las variables se utiliza, la casilla de reduced cost aparece con cero. Pero si NO es parte de la asignación óptima en esta casilla nos dice “lo que costaría si forzamos a esta variable formar parte de la asignación”.
Sí, no está muy bien explicado, pero es que la profesora no ha sabido explicármelo mejor. Se ha pasado un par de minutos haciendo “mmmmhhh” sobre mi hombro y después de decirme más o menos eso, ha dicho que “no es importante”, que “nos tenemos que fijar en eso de allá, y lo de más allá, y en eso otro”…
disculpe usté…
domingo 15 de marzo de 2009
Optimización económica del 12 de Marzo
Un ejemplo de un enunciado “La empresa Agrícola Puig SA. dispone de 81 Ha. y vende trigo,
alfalfa y ganado que engorda. El trigo se vende a 85 euros/hl. (euros/hectólitro),
la alfalfa se vende a 568 euros/hl. y las cabezas de ganado a 300 euros la
tonelada. Se pueden vender hasta 353 Hl de trigo y hasta 353 hl de alfalfa, pero
la demanda de carne es ilimitada.”
Y esto toca escribirlo de una forma matemática, meterlo todo en el programa de winqsb y obtener unos resultados. Con el rollo de que no puedes mezclar hectolitros con toneladas, que si tienes una variable menor igual a 353, o no, tranquilamente perdimos 4 horas lo menos.
Y digo perdimos porque nos juntamos cuatro almas desconsoladas a ver si a una podíamos conseguir ver alguna cosa. Pero no. De los 3 ejercicios resolvimos uno más o menos bien. Y a la mañana siguiente -el mismo 12- terminamos de arreglar otro porque uno en clase había visto la luz y colocando un mayor/igual en lugar de un menor/igual en una casilla el problema le salía. Bien o mal vete a saber, pero como mínimo le daba un resultado. Que ya es.
En fin. De la clase de teoría de hoy tengo que los problemas de asignación se basan en que tienes una serie de tareas a “asignar” a una serie de trabajadores, por ejemplo. Cada uno hará una u otra tarea, así que son variables binarias, de 0 a 1, donde 0 es “no se te asigna nada” y 1 es “se te asigna tal cosa”.
Si el problema está equilibrado es que hay tantas fuentes como demandas, si resultara desequilibrado tocará hacer lo de colocar un “fantasma”, un dummy, para compensar.
De forma genérica se escribe como
Sumatorio del coste de asignación de cada elemento…
las restricciones son que cada fuente atiende una demanda, y cada demanda necesita una fuente.
Esto se consigue escribiendo que X11 + X12 + X13 = 1… así obligas a dos de esas variables a ser 0.
Esto es lo que se usa en las compañías aereas para “asignar” pasajeros a los vuelos… si de madrid sale un avión a brasil y tiene que estar llenito de gente, se buscan vuelos -teniendo en cuenta sus costes- para traer gente de diversos puntos del país hasta madrid para llenar ese vuelo.
Que cada fuente puede hacer más de una tarea?? entonces toca crear un dummy por cada demanda de más que pueda atender una misma fuente.
Hoy ha sido una clase rara… el tío explica y luego cuestiona ¿qué hay que hacer para poder asignar una fuente a cada tarea? y cómo todos ponemos cara de pulpo el tío pasea por la clase explicando batallitas y haciendo chistes, como esperando la iluminación divina. Una tortura, porque miras a la gente y los ves a todo con el boli en mano esperando el “ya os lo digo yo…”…
No es que se explique mal, sólo que en ese momento pensaba que para pillar bien la dinámica que nos exige nos debería de inundar de ejercicios sencillitos, asequibles, para ir practicando bien.
Al final de la clase ha querido “corregir” el primer ejercicio de la practica de esta semana. Mira que ya era dificil, pero me ha conseguido liar más. Será, como dice la teoría de la inteligencia en psicologia, que yo por edad tengo mi inteligencia cristalizada y ya las cosas se me escapan. Pero no soy el único… no.
lunes 9 de marzo de 2009
Optimización económica de 5 de Marzo
Un problema equilibrado es aquel en que la suma de los totales que se emiten (por ejemplo, el total de electricidad que emiten tres centrales eléctricas) es igual a la suma de los totales de los receptores (el total de la electricidad que demandan 3 ciudades).
Si hay desequilibrio puede pasar dos cosas:
1) hay exceso de oferta; hay que crear una ciudad “fantasma”… un dummy, y añadirlo como una ciudad más. La diferencia entre lo que reclaman las 3 ciudades y lo que va a parar a las 4 en total, es lo que se queda la ciudad dummy… lo que sobra.
2) hay exceso de demanda; hay que crear una central eléctrica dummy y idem que lo anterior.
domingo 8 de marzo de 2009
Optimización económica de 26 de febrero
Sin embargo hay “truquitos” que merece la pena recordar:
Imagina que tenemos unas naranjas de calidad 6, y otras de calidad 9. Y queremos hacer un zumo que tenga calidad 7… ¿cuántas naranjas de un tipo y otro necesitas?
6X + 9Y >= 7(X + Y)
Esta es la fórmula para mezclar calidades!
miércoles 25 de febrero de 2009
Matemáticas II y Optimización económica del 20 de febrero
En matemáticas había algo de teoría sobre mínimos y máximos, pero la clase que hemos hecho hoy (25/2) ha sido todo un repaso de este tema.
domingo 22 de febrero de 2009
Optimización económica de 19 de febrero
C1 120 <= 120 …… 0 ……… 0,56 ……… 100,140 Esto informa que hemos gastado 120 de los 120 posibles (respectivamente los dos 120)… y el cero nos indica que nos sobra “0″ (es el sobrante de material o lo que sea). Y el 0,56 es el PRECIO SOMBRA; es el marginal, es la derivada de la función objetivo sobre la variable disponible. Esto informa de que para este material C1 cada unidad de más o de menos tiene un valor para nosotros de 0,56. Es el precio PARA MÍ. Y esos 100,140 significa que puedo moverme dentro de este rango y que si compro material por debajo de 0,56 será rentable, y si vendo por encima de este precio también será rentable. ¿Y si me ofrecen 21? entonces me salgo del rango y estoy “en un problema nuevo”. El incremento de beneficio = incremento material * precio sombra
domingo 15 de febrero de 2009
Optimización económica de 12 de febrero
Es dificil explicar las prácticas de ordenador.
Lo dificil es extraer un enunciado matemático correcto del enunciado original. Es decir; construir correctamente la ecuación objetivo y la ecuación de las restricciones.
Por ejemplo, ¿cómo escribes en una ecuación que, teniendo X e Y, la variable Y debe ser como mínimo del 50% siempre?
pues Y-X => 0
Cuando lo ves dices, vale; Y será siempre un valor superior o como mínimo igual a X… pero joder, para verlo te mueres.
Respecto al WINQSB sólo un detalle nuevo; la casilla de SLACK OR SURPLUS refleja el “sobrante” de una restricción.. había un problema de maximizar el beneficio de unas tierras. El resultado optimo se conseguía con una proporción que dejaba libres unas hectáreas. Pues en esa casilla se indicaba su valor.
Esta asignatura es rara pero tiene un punto que me divierte; rompe con lo que a mí se me ocurre en una primera impresión. Puestos a maximizar una cosecha lo normal parece aprovechar todas las hectareas disponibles, y sin embargo y simplemente aplicando la matemática, sale que la mejor combinación no aprovecha el 100% del terreno.
Curioso.
