Matemáticas de las Operaciones Financieras

Fuente: Sarrasi Vizcarra, Fco. Javier

Nota: prácticamente todo lo que escribo aquí es un mal reflejo de los PDF que hay disponibles en el campus virtual!

Mi propio resumen de todo aquí: Resumen y ejercicios resueltos de matemática financiera

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Jueves, 7 de octubre de 2010

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Desde el punto de vista del sujeto activo

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Miercoles, 6 de octubre de 2010

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Magnitudes financieras

Recordamos algo de física… la magnitud velocidad depende de otra llamada espacio y otra llamada tiempo;
V = e / t

o lo que es lo mismo

donde los exponentes (1 y -1) son las dimensiones de cada magnitud. Y se puede escribir que la dimensión de la velocidad es (1, -1)
Es decir, la velocidad es tá compuesta por una dimensión espacial, y por una dimensión temporal invertida.

Si la dimensión es positiva, quiere decir que el incremento de la magnitud espacio le corresponde un incremento de la magnitud velocidad (están directamente relacionadas).
Si la dimensión es negativa, quiere decir que el incremento de la magniud tiempo le corresponde un decremento de la magnitud velocidad (están indirectamente relacionadas).

Lógico: si recorro más espacio, es porque voy más deprisa, si tardo más en recorrerlo, es porque voy más lento.

En definitiva, la magnitud velocidad nace de la relación directa con la magnitud espacio, y de la relación inversa con la magnitud tiempo.

En finanzas, la ecuación dimensional será [Y]

la magnitud funamental interés, depende de las magnitudes fundamentales cuantía y diferimiento. Y siempre que se vea el vector (X, X) se estará haciendo referencia a la dimensión en términos de (cuantía, tiempo)

y la dimensión de Y = exponentes de la cuantía y el diferimiento.

estos exponentes son = 1, porque usamos euros (y no euros al cuadrado) y años (y no años al cuadrado).

1) magnitud derivada factor financiero

Si f(T,T’) va de 0 a 3 y vale 1,2… significa que 1 euro colocado en el momento cero, equivale a 1,2 en el año 3

Ya que f(T,T’) = C’/C

es decir, no importa en qué moneda o unidad de tiempo trabajas, porque el factor financiero no tiene dimensión. Ni para el tiempo (porque en la fórmula anterior no aparece por ningún lado) ni por las unidades monetarias (porque se van al dividirse unas por otras).

Es decir; cuando hablamos de tipos de interés, los euros por ser euros no van a tener un mayor o menor rendimiento que los dolares, por poner un ejemplo.

De la misma forma, C’= C * f(T,T’)
que en el plano de las magnitudes se lee como

u.m = u.m * no dimensión
unidades monetarias = unidades monetarias

Si estamos en un sistema estacionario (tipo de interés invariable con el paso del tiempo)

y si expresamos esto en logaritmos;

y ya que f(T,T’) no tiene dimensión(0,0) entonces lo que hay a la derecha de la expresión tampoco debe tenerlo…
La expresión (T’-T) tiene expresión (0, 1) porque no aparece cuantía por ningún lado y sí hay dimensión temporal (tiempo – tiempo = tiempo).
Por lo tanto lnA debe tener dimensión (0, -1), es decir, no hay cuantía y sí tenemos la inversa del tiempo.
Así se cumplirá que
tiempo * 1/tiempo = no dimensión temporal

en consecuencia, dim[A] = (0, -1)

Si estamos en un sistema dinámico de primer grado

lnf(T,T’)= (T’-T)lnA + (T’²-T²)/2*lnB

en el plano de las dimensiones…

(0,0) = (0,0) + por narices (0,0)

si la expresión (T’²-T²)/2 tiene dimensión (0, 2)
lnB por narices debe tener dimensión (0, -2)

Magnitudes derivadas precios financieros

Precio: es el valor que se le asigna a un bien/servicio. En operaciones financieras el pago del precio no coincide con la transmisión del bien o servicio, produciéndose una doble operación
a) la operación principal (colocar C, o devolver C’)
b) la operación secundaria, pagar el precio. Por anticipado (al principio) o aplazado (al final).

Operaciones de depósito

operación principal: Colocar un capital C a un plazo de tiempo T’-T para que te devuelvan C’. P.ej. colocar 1000 euros a 1 año.

operación secundaria: aplazar el precio de la operación hasta el momento T’. P.ej. pagar los intereses de los 1000 euros al finalizar el año.

Operaciones de descuento

operación principal: anticipar la liquidez de un capital, por ejemplo, descontar una letra.

operación secundaria: anticipar el pago del precio, por ejemplo, pagar unos intereses al principio por el descuento de la letra.

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Viernes, 1 de octubre de 2010

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Hemos desarrollado en plan teórico la expresión analítica del factor financiero, realizado por Jevous en 1871.

Si consideramos que el “tao” (t) es un pequeño margen temporal dentro de un margen más amplio T, el interés que generará un capital C colocado en un momento inicial será = capital * precio * incremento infinitesimal t

después de un desarrollo se llega hasta la expresión;

Sistemas financieros

ρ(t) es el precio en el instante tao, o ley financiera. Puede ser

1. sistema financiero estacionario; agrupa leyes financieras constantes
ρ(t)= 0,05
ρ(t)= 0,08
… etc; el caso es que el precio en cualquier instante temporal siempre es el mismo.

2. sistema financiero dinámico; agrupa leyes financieras variables
ρ(t)= 0,03 + 0,05t
… polinomios. Que pueden ser de grado 1, de grado 2, etc.

1 sistema financiero estacionario

Vamos a suponer que ρ(t) es siempre el mismo, con lo que no depende de t. De forma que ρ(t) se puede expresar simplemente como ρ. Y para hacerlo más fácil aún, vamos a suponer que ρ es = lnA
Y para cumplir con los principios y que el precio sea positivo (nadie pone dinero a un interés negativo), lnA>0
Y esto se cumplirá siempre que A>1

si

conclusión

es decir, en un sistema financiero estacionario, el factor financiero (equivalencia monetaria en el momento T’ de un capital C colocado en T) depende exclusivamente del plazo de la operación T’-T = t

Dicho de otra forma;
Si 1000 euros en el plazo de 0 a 1 año equivale a 1100€, en el plazo de 0,5 a 1,5 años también.
El factor financiero es invariable ante desplazamientos en el diferimiento.

2. Sistemas financieros dinámicos

Agrupan leyes financieras variables y se caracterizan porque sus factores financieros no sólo dependen del plazo de la operación, sino también del emplazamiento temporal de las cuantías.

Igual que antes pero ahora
ρ(t)= lnA + lnB*t
dependiendo del valor de B estaremos en un escenario de tipos de interés crecientes, o un escenario de tipos de interés decrecientes donde existe un momento T* a partir del cual la operación no tiene lógica.

Este momento T* sucede cuando ρ(t)=0
lnA+lnB*T=0

T*= -lnA / lnB

Por otro lado, como se ve en el gráfico, en el momento T=0 el tipo de interés es = lnA. Para cumplir que el interés como mínimo sea positivo incialmente…
A>1

Y en escenarios de interés creciente
A>1 y B>0

desarrollando el factor financiero

es decir, el factor financiero depende del plazo de la operación, y también del punto medio del mismo plazo. Debido a que el punto medio cambiará cuando se haga un aplazamiento de la operación.
Si antes 1000 generaban 1100 entre el momento 0 y el 1.
ahora 1000 generarán 1200 entre 0,5 y 1,5 (por el efecto de los intereses crecientes).

El factor financiero para una ley financiera de segundo grado será

y hemos acabado la clase con un ejemplo…

Calcular el C’ en las siguientes equivalencias
(1000, 0) ~ (C’, 3)
(1000, 3) ~ (C’, 6)
en los supuestos
a) ley financiera estacionaria ρ(t)= 0,01
b) ley financiera dinámica de primer grado ρ(t)=0,01+0,0001t
c) ley financiera dinámica de primer grado ρ(t)= 0,01-0,002t

a)
si ρ=lnA y lnA=0,01

A=1,010050167
y ya que
y que C’/C = f(T,T’)

y para las dos equivalencias el resultado es el mismo, porque le periodo T’-T es en ambos casos = 3

b)
ρ(t)=0,01+0,0001t
ρ(t)= lnA + lnBt

lnA = 0,01
A= 1,010050167

lnB = 0,0001
B= 1,0010005

para
C’=C*f(0,3) = 1000 * f(0,3) = 1035,1020

para
C’=C*f(3,6) = 1000 * f(3,6) = 1044,45

c)
ρ(t)= 0,01-0,002t
ρ(t)= lnA – lnBt

el tiempo T* a partir del cual no tiene sentido la operación es
T*=-lnA/lnB = -0,01/-0,002 = 5

es decir, cualquier operación que incluya el año 5 (o que se haga con posterioridad) no tiene sentidon

lnA = 0,01
A = 1,010050167

lnB = -0,002
B = 0,998001998

C’=1021,22

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Jueves, 30 de septiembre de 2010

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Ayer miércoles fue la vaga general…

Factor financiero

El factor financiero se puede interpretar como la equivalencia monetaria en T’ de una unidad monetaria colocada en T. Por ej. si 1 euro en T genera 1,2 euros en T’, diremos que el factor financiero de T a T’ es 1,2.
Para conseguir expresar esto hay que juntar dos conceptos:

1) La equivalencia financiera era (C, T) ~(C’, T’), porque existe una E[C, C', T, T']=0
por ejemplo;

2) la homogeneidad respecto a cuantías, (KC, T)~(KC’, T’)
se cumple porque existe una E[KC, KC', T, T']=0
supongamos que K=1/C

por lo que al final, resulta que ahora la expresión E depende del cociente de cuantías;

Si f(0,2)=1,3… se lee como “una unidad monetaria en el momento cero, es equivalente a 1,3 u.m. en el momento 2″

Despejando las variables de la fórmula, se puede saber C’…
C’=C*f(T,T’) es decir; el capital C por el factor financiero tal, da un capital C’ equivalente.

Propiedades del factor financiero

1. El factor financiero es siempre positivo, ya que en el cociente de las cuantías tenemos dos capitales que siempre son positivos; >0

2. preferencia por la liquidez;
2.1 Si el fac.fin. es mayor que uno, es que T’ es > T quiere decir que el incremento de T es mayor que cero. Al multiplicar un capital C por un nº mayor que uno, se obtiene una C’ > C –> operación de capitalización responde a la pregunta; ¿cuánto dinero generará C si vamos de T a T’?
2.2 Si el fac.fin. es menor que uno, es que T’ < T  quiere decir que el incremento de T es menor que cero (viajamos atrás en el tiempo). Al multiplicar un capital C por un nº menor que uno, se obtiene una C’<C –> operación de descuento responde a la pregunta, ¿cuánto dinero tuve que poner (C) tiempo atrás, para tener hoy C’?
2.3 Si el fac.fin. es igual a 1, es que no ha pasado ni un segundo de tiempo; la cuantía C es igual a la cuantía C’.

3. reciprocidad
f(T, T’) = 1 / f(T’, T)
es decir,
f(T, T’) * f(T’, T) = 1
se basa en la simetría de las operaciones financieras. Y lo que es lo mismo;

4. escindibilidad
f(T,T’)*f(T’,T”) = f(T, T”)

5. el factor financiero es una función creciente respecto la segunda variable T’, y decreciente respecto la T.
Si fijamos T, cuanto mayor sea T’ mayor será el capital equivalente (más rendimientos porque la inversión dura más tiempo).
Si fijamos T’, cuanto mayor sea T menor será el factor financiero.
Se cumple porque estamos contando con la propiedad de la preferencia por la liquidez (el rendimiento es mayor cuanto más tiempo pasa para recompensar la privación de liquidez del inversor).

6. Si el factor financiero es una función continua y derivable, significa que la derivada parcial del fac.fin. respecto a T’ es > 0, porque es creciente… y que la derivada parcial del fac.fin. respecto a T es < 0, porque es decreciente.

El factor financiero que cumple estas 6 propiedades tiene la forma de función exponencial:

donde p(t) es ley financiera: la función precio de la operación de financiación para cada uno de los instantes (t) que pertenecen al rango [T, T']

Si la ley financiera es estacionaria

se cumple que p(t) es un número fijo (el interés es siempre el mismo);

se puede hacer más sencillo si decimos que

de tal forma que todo queda reducido a…

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Jueves, 23 de septiembre de 2010

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Equivalencia financiera

Representa que la prestación debe ser igual a la contraprestación. Es decir, 6000 euros en el año 0 son equivalentes a 6030 euros en el año 1.

(C, T) ~(C’, T’)

pero sólo si “si y sólo si” existe una expresión matemática “E” que relaciona todas estas variables y cumple una serie de propiedades… E[C, C', T, T']

Propiedades lógicas de la equivalencia financiera

1) reflexiva
La prestación es equivalente ~ a sí mismo… (C, T) ~(C, T)

Demostración;
si tenemos la expresión matemática

Si T y T son el mismo valor, el paréntesis queda elevado a cero… = 1. Queda C=C

2) simétrica
(C, T)~(C’, T’) = (C’, T’)~(C, T)

3) transitiva

Si (C, T)~(C’, T’)
y (C’, T’)~(C”, T”)
entonces (C, T)~(C”, T”)

Principios financieros de la equivalencia financiera

1) Homogeneidad respecto cuantías (C)
2) Preferencia por la liquidez

1)
Dada una equivalencia financiera, entonces para todo K que sea un número positivo real,
(KC, T)~(KC’, T’)

En la realidad se cumple por tramos; te pagan un interés “i” por poner de 0 a X€, de X€ a XX€ un i mayor, y a partir de XX€ mucho más i. Porque se premia con más interés los altos importes.

2)
No se supone un interés negativo (nadie llevará 100€ al banco para que en un año nos devuelvan 99€). El interés será mucho o poco, pero siempre positivo.

Si de un momento T se pasa a un momento T’, el capital C se incrementará hasta C’. Sólo cuando el incremento de T es cero, el incremento de C también.
Si el incremento de T es negativo (de un año 33, se pasa a un año 30), el incremento de C también será negativo (de un capital 1000, se pasa a uno 900). Esto sucede porque se entiende que estamos “viajando atrás” en el tiempo.

Para que un capital C sea financieramente equivalente debe cumplir todas estas propiedades (las lógicas y las financieras), y sólo hay un resultado único; C diferido de T a T’ es equivalente a C’, un número exacto y único. Esto es la Unicidad de la equivalencia financiera

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Miércoles, 22 de septiembre de 2010

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El profesor se llama Javier, y es genial. Empezamos las clases hoy, que antes estaba en una conferencia en Vigo.

1. Operación financiera, definición y elementos

Es un intercambio de disponibilidad dineraria entre sujetos.
Poner 6000 euros a 1 año para recuperar 6030 al final.

Hay;
a) un elemento personal; quiénes participan
b) un elemento material; qué cosa se intercambia
c) un elemento convencional; de qué manera y dónde se intercambia

a) participan…
Un sujeto activo; el que tiene liquidez (le sobra el dinero) y la cede.
Un sujeto pasivo; el que no tiene liquidez y la recibe, con la obligación de devolverla.

Al abrir una cuenta en un banco, el banco se convierte en pasivo (recibe un dinero líquido) y el cliente se convierte en sujeto activo. Cuando  se solicita un préstamo al banco, el banco se convierte en activo (cede liquidez) y el cliente en el sujeto pasivo.

b) se intercambia…
un capital “C”, en un momento temporal “T”. Así, cuando abro una cuenta de ahorro de 6000 euros en el momento cero, para recuperar 6030 en un año,…
El capital finaniero inicial es (6000, 0)
El capital financiero final es (6030, 1)
La nomenclatura es (C, T)

Más adelante veremos el concepto de “flujo financiero” donde se habla de manera continua; acceso masivo de importes que se van agregando en cortísimos periodos de tiempo.

c) tipos de operaciones financieras;

1. de equilibrio
–> 1.1 operaciones de financiación y 1.2 operaciones de inversión.

2. de prestaciones y contraprestaciones
–> 2.1 operaciones simples
2.2 operaciones parcialmente complejas
2.2 operaciones totalmente complejas

3. según la naturaleza de los términos
–> 3.1 operaciones ciertas; se sabe el importe de la prestación y contraprestación
3.2 no ciertas
3.2.1 aleatorias
3.2.2 totalmente inciertas

Operación financiera de financiación:
Un sujeto activo proporciona liquidez a un sujeto pasivo para llevar a cabo su proyecto económico, de consumo o inversión. A cambio de esta capacidad de tener liquidez, se paga el precio de este servicio: el interés + la inflación acumulada. Son operaciones equilibradas porque se sabe el tipo de interés que se aplicará. Es decir; que como mínimo en el momento final del pago se sabe el importe exacto a devolver.

Entonces nos ha contado un detalle curioso: si un banco (ING) ofrece depósitos con una remuneración muy elevada, no es sólo porque quiera ganar muchos clientes, sino porque en el mercado interbancario no hay quién lo vea un banco atractivo donde colocar dinero. Supongo que para un cliente normal con 2mil o 20mil euros tanto da, porque un 3% de interés no es una fortuna… pero se trata de un banco con problemas de solvencia que paga más de lo normal para conseguir dinero.

Ejemplos de activo y pasivo:

1. Un efecto bancario anticipado es un
Activo para el banco (derecho de cobro)
Pasivo para la empresa (obligación de que el efecto se pague)

Prestración: capital cedido por el sujeto activo al sujeto pasivo
Contraprestación: capital devuelto por el suj.pasivo al suj.activo

Operación financiera de inversión:
El sujeto activo participa activamente en el proyecto económico con el objetivo de conseguir una renta superior al precio del dinero fijado en el mercado financiero (precisamente se busca estar por encima del interés que se paga).
Yo soy el inversor (sujeto activo) y evidentemente participo en el proyecto de mi empresa (sujeto pasivo) que me tiene que devolver el capital.

El inversor coloca en el contrainversor (o empresa) inputs.
La empresa genera outputs al final del tiempo (capital total que devuelve).

Operaciones elementales

Están constituidas por un único capital, p.ej. colocar 6000 euros a 1 año para recibir 30 en intereses.
la prestación; (C, T), por ej. (6000, 0)
su contraprestación; (C’, T’),… (6030, 1)

Operaciones parcialmente complejas

1. Una única prestación y varias contraprestaciones, como por ejemplo tener un préstamo de pagos mensuales.
la prestación = (6000, 0)
la contraprestación = {(3100, 1)(3100, 2)}

2. Varias prestaciones, una única contraprestación, p.ej. tener una cuenta de crédito y hacer dos reintegros y una devolución:
la prestación = {(3000, 0)(4000, 1)}
la contraprestación = (7800, 2)

Operaciones totalmente complejas

Siguiendo el esquema anterior… pero con varias operaciones de prestación y contraprestación.

Si hay incerteza

Estamos en las operaciones financieras no ciertas

que pueden ser aleatorias (donde se encuentran las operaciones de actuariales) o
totalmente inciertas (renta variable; la contraprestación se desconoce totalmente).

Las operaciones no ciertas y aleatorias vienen dadas por una función de probabilidad. El pago de la prima (prestación) es equivalente al pago de la contraprestación (pago del siniestro; y la probabilidad del siniestro se conoce).