Matemática Actuarial Vida
fuente: Antonio Alegre e Isabel Morillo
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Viernes, 10 de junio de 2011
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Todo lo hecho lo estoy resumiendo aquí; MATEMATICA ACTUARIAL VIDA (la fecha es la última actualización)
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Martes, 22 de febrero de 2011
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Día de práctica en informática:
En informàtica sólo haremos operaciones sobre una vida. El hecho a asegurar será sobre una persona su supervivencia o su muerte. Los ejercicios de evaluación continuada se entregan en las mismas fechas que los dos primeros parciales. Junto con el tercero habrá examen.
Tema 1. Tablas de mortalidad.
Tema 2. anàlisis estocástico de las operaciones sobre una vida.
Tema 3. Calcular la prima pura tanto de supervivencia, como de muerte Tema 4.
Tema 5. Prima de inventario Prima de tarifa.
El 1º ejercicio a entregar será sobre el tema 2.
El 2º ejercicio será sobre los temas 3 y un poco del 4.
El control final será del tema 5, que lo recoge todo.
TEMA 1. LAS TABLAS DE MORTALIDAD
Operaciones sobre la vida de una persona, el hecho asegurado es la supervivencia o la muerte de la persona asegurada.
Ej. Una persona de edad x, contrata pagando una prima única Π en t=0, cobrará en t=x+t un capital C si llega vivo (tPx) y 0 si llega muerto (/tqx)
Para hacerlo planteamos la ecuación de equilibrio será;
Valor actual actuarial en cero de las primas VAAo= valor actual actuarial en cero de las prestaciones VAAo.
Objetivo: Si nos dan la prima, encontramos C, si nos dan C encontramos la prima.
El VAAo de la prima = la prima (Π, 0)
El VAAo de la prestación es = una variable aleatoria Č (c con ñ)
| Č | probabilidad | con valor actual |
| C | tPx | = C(1+I1)^(-t) |
| 0 | /tqx = 1- tPx | 0 |
E[Vo] = C(1+I1)^(-t)* tPx + 0*/tqx
= C(1+I1)^(-t)* tPx
Donde la ecuación de equilibrio será
(valor actuarial de las primas en cero) = Π = C(1+I1)^(-t)* tPx
Nos faltará que nos digan a qué tipo de interés se ha pactado la operación, y las probabilidades. P y q se obtienen a partir de la función de supervivencia (la l(x) )
l(x) da el numero de personas vivas en la edad x a partir de un colectivo teórico inicial lx0 = edad inicial del colectivo.
Se puede modelizar de dos formas:
- a partir de una expresión analítica (ley de gormpetz, de makeham…) (continuo)
- a partir de las tablas de mortalidad (discreto) es lo que usaremos nosotros.
Las tablas son colecciones de datos anuales (en discreto) sacados a partir de datos empíricos de la población.
1.2 TABLAS DE MORTALIDAD
Contiene datos anuales. Puede hacer referencia a la mortalidad de la población general o bien a la mortalidad de un colectivo dentro de la población.
Nosotros trabajaremos con las tablas generacionales españolas; PERM/F-2000 P (m de masculino f de femenino) para cuando se asegure supervivencia. Separa edad, sexo, desde el año 1885 hasta el 2000. Son de la población general; la edad inicial de la tabla es cero.
Y usaremos unas tablas suizas GKM/F-95 para cuando las operaciones sean de muerte. Sólo divide sexo y edad. Son de la población activa; edad inicial 15.
Descargamos las tablas y abrimos el R; file à load workspace
> ls()
[1] “aprol” “conslf” “conslm” “flperfp” “flpermp” “lgkf95″ “lgkm95″
[8] “lperfp” “lpermp” “mesures”
Lpermp y lperfp son matrices. Contienen las “lx” donde cada fila es la tabla de mortalidad de una generación, m hombres, f mujeres. Tienen 116 filas y 117 columnas cada una. Las filas son los diferentes años entre 1885 y 2000 (cada fila un año de nacimiento). Las columnas contienen los vivos en edad cero (lo), en edad…, hasta edad 116 (l116).
lgkm95 y lgkf95 son vectores. Son las tablas suizas, igual que lo anterior. Contienen de la l15 hasta l121 para m, y mujeres llega hasta l127.
conslm, mesures, conslf, aprol, flpermp y flperfp son funciones. Las dos últimas no las usaremos. Consxxx sirven para construir las tablas generacionales, y mesures y aprol ya las veremos.
Para seleccionar la tabla de una generación hay dos caminos;
ejemplo, creas la l70 para la generación de 1970
> l70 <- lperfp[1970-1885+1, ]
Así seleccionas la fila ^ ^dejándolo en blanco seleccionas todas las columnas.
> l79<-lperfp[1979-1885+1,]
> l79
[1] 1000000.0000 992552.8802…
lo = un millón, y el siguiente es vivos en l1.
En l116 no quedan vivos. = 0.
> l79<-conslm(1970)
> l79
[1] 1000000.0000 990994.7514
Con las suizas,
> lgkm95
[1] 1.000000e+06 9.984215e+05
En las tablas PERM/F-2000P en las tablas GKM/F-95
el primer elemento de la tabla es lo, vivos en cero. Es l15, vivos en 15 años como inicio (un millón)
ocupando la primera posición llega hasta 121 en mahcos y 127 en mujeres
Si quiero encontrar los vivos en x La primera posición es l15
tengo que buscar la posición x+1 y los vivos en x se encuentra como
> l79[31] x+1-15
[1] 970301.6 > lgkm95[31+1-15]
[1] 977065
La variable w informa del infinito actuarial si la creamos como
w<- length (l79)-1
Para las tablas suizas,
w<-15+length(lgkm95)-1
Ejercicio 1 y 2 (los hacemos a la vez)
A partir de la generación masculina de 1970 crear
Primero creamos la l70
> l70<- conslm(1970)
a) vivos en l35
> l70[35+1]
[1] 964434.9
>lgkm95[35+1-15]
[1] 971803.5
b) vivos en edad de 40+t siendo t=0,…,29
Hacemos un vector
>t<-0:29
>l70[40+t+1]
> t<-0:29
> t
[1] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
> l70[40+t+1]
[1] 959017.4 957799.1 (…)
>lgkm95[40+t+1-15]
[1] 964110.8 962308.5 960385.5 (…)
c) crear l45, l46,… lw-1
creamos
> l70[t+1]
[1] 952274.9252 950703.9244 (…)
Para las tablas lgkm95, irá hasta w-1 = 120
> t<-45:120
> lgkm95[t+1-15]
[1] 9.537252e+05 9.511400e+05 (…)
Ejercicio 3
> l75<-conslm(1975)
a) 2p46=l48/l46
> pa1<-l75[48+1]/l75[46+1]
> pa1
[1] 0.9966323
> pa2<-lgkm95[48+1-15]/lgkm95[46+1-15]
> pa2
[1] 0.9938226
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Jueves, 17 de febrero de 2011
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Hemos empezado con un repaso fundamental sobre el cálculo diferencial;
muy bien explicado aquí, y también aquí.
Tabla de derivadas, aquí.
Y también la integración;
explicado aquí, detalle de las propiedades aquí.
Tabla de integrales, aquí.
Hemos mirado la integración por partes, como uno de los métodos de integración más habituales.
Luego hemos introducido los operadores discretos;
La diferencial en campo discreto, Δ
La integración en campo discreto.
Y por último las propiedades de la diferencia en campo discreto
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Martes, 15 de febrero de 2011
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El término “actuarial” se refiere a que analizaremos operaciones financieras sujetas a una contingencia (que el hecho puede suceder o no, ahora o más adelante en el tiempo).
Usaremos operadores discretos y continuos (las rentas son discretas, los siniestros son continuos).
Álgebra de Boole para resolver problemas de 2 o + cabezas.
Interés compuesto suponiendo que no variará (interés técnico).
Distribuciones de probabilidad
Programación en R
La idea será equilibrar que unas primas pagadas en T1 serán equivalentes a unos capitales en T2.
Si esto se calculase mediante primas puras (calculando la esperanza matemática) no sería viable; se requieren los recargos de seguridad.
Rentas (sucesión de primas en campo discreto) y seguros (indemnizaciones únicas cuando sucede el siniestro en campo continuo) serán las operaciones fundamentales.
En t=0 primas y rentas están en equilibrio, en un momento tao no hay equilibrio y la empresa aseguradora está obligada a crear unas “provisiones matemáticas” o reservas que asegura que tendrá capital para pagar la indemnización en caso de que suceda el siniestro. Si se calcula mediante el método retrospectivo se sabe con certeza las primas ya cobradas, si se hace mediante el método prospectiva será incierto (porque no sabemos hasta cuándo se seguirán cobrando).
El actuario certifica que las reservas son coherentes -suficientes-.
También trabajaremos con grupos, de dos o más cabezas (calcularemos rentas y seguros).
Hasta aquí todo es dicotómico. Luego se considerará invalidez e independencia, con 3 grados. En España hay problema de falta de datos. Como ejemplo: por motivos políticos hay empresas que ha incluido a activos que iban al paro como invalidos. Como ejemplo: se observan diferencias en la función de supervivencia entre individuos con una renta que les permite contratar un plan de pensiones que aquellos que contratan un seguro de vida, y evidentemente también se diferencia con aquellos que no tienen renta para nada.
Con variables aleatorias sólo se puede hablar de certeza estadística; solvencia. Para su cálculo se considera
a) el capital en riesgo
b) los recargos aplicados
c) la cantidad reasegurada.
Un ejemplo para demostrar que la esperanza matemática informa del precio de la prima pero no es suficiente para mantener la solvencia.
Supongamos una operación financiera de t=0 a t=1 con un pago final de 1000€ y un interés de i=0,04
El precio de la prima en estas circunstancias sería
1000 = C(1+0,04*1)
C= 961,54
Cada individuo deberá pagar una prima de 961,54 para al cabo de un año percibir un pago de 1000. Y trabajamos bajo la idea de que el 100% de los individuos cobrarán el importe final. La gestión en este caso es solvente.
Ahora biem, si sólo un porcentaje de los individuos (supongamos una supervivencia del 80%) cobrará los 1000 euros no hay que cobrar 961,54 a todos, sino un importe inferior. Pero si lo hacemos a las bravas…:
el 0,2 de los individuos pagará cero
el 0,8 de los individuos pagará 961,54
La esperanza será = 0,2*0 + 0,8*961,54 = 769,23
(a las bravas) se podría cobrar al 100% de los individuos una prima de 769,23 para hacer frente a un 80% de pagos de 1000€.
El problema está en que si cogemos un sólo contrato, tiene un 80% de posibilidades de provocar insolvencia! porque se habrá cobrado 769,23 y habrá que pagar 1000€.
Para asegurar la solvencia -frente a un sólo contrato- no hay más remedio que volver atrás y cobrar la prima que asegura la solvencia del 100%; 961,54.
Ahora bien, si suponemos más de un contrato, la suma de dicotómicas genera una distribución de probabilidad binomial, donde podemos hablar de solvencia con un 95% de confianza.
Para encontrar la prima Π adecuada lo que se hace es coger la prima pura (Πp =769,23) que cubre hasta un determinado porcentaje de solvencia, y añadir un recargo de seguridad para obtener la solvencia deseada (del 95% por ejemplo), sin necesidad de llegar a la solvencia del 100%, o visto del otro lado, el nivel de riesgo permitido.
Π = Πp (1+ λ)
donde λ es el recargo que se aplicará y está en función de epsilon (ε) que es el nivel de riesgo permitido.
Cuánto más pequeño sea el ε permitido (95% < 99% < 100%) más alto será el recargo de seguridad λ. En un sentido extremo, si sólo acepto un riesgo de 0,001% el recargo de seguridad será tan alto que casi me situará en el 100% de la prima que tiene el 100% de solvencia (lo que antes eran los 961,54).
También, a mayor cantidad de individuos (N) menos recargo (si los siniestros son variables independientes) y se parecerá a una normal de media = n*p y desviación
