Estadística actuarial Vida

Fuente: Ayuso Gutierrez, M. Mercedes y Santolino Prieto, Miguel Angel

Estoy intentando resumir todo esto (y el libro) en un powerpoint:

actualizado Junio de 2011: Estadistica Actuarial Vida

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Lunes, 27 de septiembre

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Seguimos con las tablas de cohortes

Cohorte; nº de individuos que nacen en un momento “t”. Se escribe con “l” de live.
lx se mueve entre [0, w] de tal forma que lw=0, porque en el infinito actuarial el grupo ha desaparecido.

l0 es el grupo inicial, se pueden tomar poblaciones de 10mil, 100mil, 1 millón,…

Se distribuye según una binomial, B, (vivo/muerto), una función representada por “L(x)”,
L(x) se distribuye como B(l0,S(x)). es decir;
lx es el valor esperado de la función = nº individuos iniciales por la probabilidad de supervivencia en la edad x.

S(x) se puede encontrar desde…

Función de fallecimiento: nº personas que fallecen entre una edad y la siguiente. Se escribe con “d” de died.
es la cantidad de muertos entre la edad x y x+n.

Es decir,
es la probabilidad de morir entre x y x+n.
es el número absoluto de muertos entre x y x+n

Si antes “q” era la probabilidad, ahora “d” es el número absoluto.

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Martes, 21 de septiembre

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Hoy seguimos con la definción de µ Hazard Rate, o tanto instantáneo de fallecimiento, que se entiende como la cantidad de fallecimientos que se dan cuando el incremento de tiempo es próximo a cero.

Para comprenderlo bien; imagina que en un rango de 10 horas suceden 20 fallecimientos. Estudiar el tanto instantáneo de fallecimiento sería reducir este espacio temporal y ver cuántos fallecimientos siguen sucediendo.
Imagina que si reducimos el rango a la mitad, 5h, suceden 10 fallecimientos.
Y si la reducimos a 1h, suceden 2 fallecimientos…
El proceso es ir reduciendo el rango temporal hasta que se llega a un límite donde el incremento es infinitesimal (lim para un incremento t = cero), y se observa cuántos fallecimientos suceden entonces. En definitiva: el tanto instantaneo de mortalidad (hazard rate) es la probabilidad de fallecer en una edad puntual.
Si para un individuo de 20 años, esta µ es = 0,025, significa que los individuos de 20 años parten con una probabilidad de fallecer del 2,5%

Y cuidado: no es lo mismo calcular
1. µ la probabilidad de muerte para un incremento infinitesimal del rango temporal
2. que la derivada de la probabilidad de fallecimiento anual

El cálculo del tanto instantaneo de fallecimiento se obtiene con 2 pasos:
1) derivando respecto n
2) igualando n=0
[en clase ha estado escribien "t" en lugar de "n", pero es lo mismo; el rango temporal]

Un ejemplo completo (con un par de pasos más):

Tenemos una función de densidad, para todo 0<x<1

Si sabemos que tenemos que trabajar con la expresión…

…entonces es necesario transformar la función de densidad f(x) a la función de distribución F(x). Esto es, 1) integrar la función de densidad en el rango [0, x]

una vez tenemos F(x) se puede aplicar el y 2) sustituir dentro de la expresión:

ahora toca 3) derivar en función de n:

y ahora, 4) igualando n=cero, se obtiene la expresión de µ para una edad x…

Sustituyendo, para una edad x=20, sale µ=0,025

Simplificación

Si cogemos y aplicamos un incremento infinitesimal de n, por definición se obtiene también la

Y se puede simplificar como

Habitualmente, en la realidad, el tanto instantáneo de fallecimiento decrece hasta los primeros años de edad (entre 10 y 15) y luego crece lentamente (hasta los 50) para luego ir acelerándose cada vez más.

Como pasar del continuo a trabajar con las variables discretas “p” y “q”

La función de distribución del fallecimiento se puede escribir como “el área que ocupa entre cero y x el tanto instantáneo de mortalidad”;

desarrollando esta expresión, se llega a que

Y ya que S(x) = 1- F(x)…

De la misma forma

Y si se hace un desarrollo con la vida residual queda…

Tablas de vida o cohortes

La tabla de vida es una herramienta para los seguros de vida o mortalidad. Y en ella hay una serie de funciones biométricas;
1) función cohorte
2) función de fallecimiento
3) tanto anual de fallecimiento
4) tanto anual de supervivencia
5) función censal de supervivencia
6) tanto central de mortalidad
7) cantidad de existencia
8) esperanza de vida

1) función de cohorte

Es una generación. Los que nacieron conmigo en el 79 y siguen vivos hoy son la cohorte del 79 a fecha 2010; es el grupo de personas sobre el que se analiza el comportamiento de la mortalidad. Se escribe “l(x)” y se lee como el nº de individuos vivos en cada edad (¿cuántas personas vivas hay en la población que nacieron en el 79?). También se lee como “cuántas personas pasan al siguiente grupo de edad vivas”.

“l0″ (“l” cero) son los recién nacidos.
“l1″, son el nº de individuos vivos con 1 año de edad
“l30″,… idem con 30 años
“lw”, es cero; porque nadie sobrevive a la edad w.

genéricamente

Es decir, el colectivo vivo a una edad es = colectivo inicial * probabilidad de estar vivo a esa edad

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Lunes, 20 de septiembre

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Nos centramos en estudiar la probabilidad de morir (X) en base a funciones de distribución y temporalidades o difierimientos.

1) probabilidad de fallecer entre x y x+n
Si no dice nada más, se entiende que contamos desde la edad cero.

0_______x____x+n____w

Y esto es la P(x<X<x+n) = F(x+n) – F(x)

2) probabilidad de fallecer entre x y x+n sabiendo que ya se tiene la edad x

El dibujo es el mismo 0_______x____x+n____w

Pero estamos condicionados a que ya se tiene la edad x;

P(x<X<x+n | X>x) = [ F(x+n) - F(x)] / [ 1-F(x)]

y a esto se le llama probabilidad temporal de fallecimiento; o sea, que si tengo 20 años, cuál es la probabilidad de morir entre los 20 y los 25, por ejemplo. Y se conoce como “q”, añadiendo el un subíndice delante “n” que se refiere al periodo que se estudia (por. ejemplo 5 años, de los 20 a los 25), y un subíndice detrás que es “x” la edad actual del individuo (20).

3) podemos medir la probabilidad temporal de supervivencia, que es el complementario del anterior (ahora que estamos en modelos sencillos esto se cumple, en adelante no). O sea, probabilidad de que si tengo 20 años, entre los 20 y los 25 esté vivo.

P(X>x+n | X>x) = 1 –

Y se conoce como “p”…

= 1 –

Hay 4 nomenclaturas, una para cada tipo de temporalidad;

1.
ANUAL: probabilidad de morir entre una edad x y 1 año, no hace falta indicar el “1″

(ej. probabilidad de, si tengo 20 años, morir entre los 20 y los 21)

2.
TEMPORAL: probabilidad de morir entre x y un periodo “n” años,

(ej. probabilidad de, si tengo 20 años, morir entre los 20 y los 25. … n=5)

3.
DIFERIDA TEMPORAL 1: probabilidad de, teniendo una edad x, morir en un rango futuro “m”, de “1″ año;

(ej. probabilidad de, si tengo 20 años, de morir entre los 30 y los 31. … m=10)

4.
DIFERIDA TEMPORAL: probabilidad de, teniendo una edad x, morir en un rango futuro “m”, de “n” años;

(ej. probabilidad de, si tengo 20 años, morir entre los 30 y los 35… m= 10, n=5)

Cuando estamos hablando de anuales, periodos de 1 año, no hace falta poner el subíndice “n”.

Propiedades de las funciones de fallecimiento y supervivencia

1. escindibilidad: que la probabilidad sea escindible. Es decir, que la probabilidad se puede calcular en base a temporalidades inferiores a la planteada.

En lenguaje de calle sería: Si existe la probabilidad de que esté vivo entre los 20 y los 25, es porque existe la probabilidad de que este vivo entre los 20 y los 22, y entre los 22 y los 25. Así, la escindibilidad se cumple para supervivencia, y no para fallecimiento.

¿Por qué? Porque si se entiende como la probabilidad de mantenerme vivo entre los 20 y los 25, es que a lo largo de estos 5 años efectivamente estoy vivo.

Pero en cambio, si se entiende como la probabilidad de que me haya muerto  en un instante entre 20 y 25 años, no puedo saber cuándo se ha producido la muerte, de tal forma que no puedo asegurar que, por ejemplo, entre los 20 y los 22 aún estaba vivo.

La demostración matemática en el caso de la supervivencia es, colocando un año “k” dentro del intérvalo temporal…

0_______x__k__x+n____w

De tal forma que hay un periodo que va de “x” a “k”, y otro periodo que va de “x+k” a “n-k”
La probabilidad total es = multiplicar las dos probabilidades escindidas

Probabilidades diferidas temporal de fallecimiento

Lo que hemos hecho ahora es cómo se calcularia la probabilidad de morir en un rango temporal futuro

1) directamente si sabemos la función de distribución: Desarrollando la probabilidad queda

2) si queremos aplicar la simbología

2.1) con probabilidad de supervivencia (p) y de fallecimiento (q)

que se lee como:
la probabilidad de que un individuo de edad x muera en un futuro entre m y un rango n años es = la probabilidad de que un individuo de edad x sobreviva m años y fallezca entre x+m años y el rango n.

2.2) con sólo probabilidad de fallecimiento (q)

que se lee como:
la probabilidad (..) es = la probabilidad de que un individuo muera entre x+m y x+m+n años menos la probabilidad de morir entre x y x+m

2.3) con sólo probabilidad de supervivencia (p)

que se lee como:
la probabilidad (…) es = el complementario de la probabilidad de sobrevivir entre x y x+m+n menos el complementario de la probabilidad de sobrevivir entre x y x+m

Probabilidad diferida temporal (1 año) de fallecimiento

Lo mismo que se ha hecho con se puede hacer con

en simbología

1)

2)

3)

Escribir una probabilidad temporal de fallecimiento en función de probabilidades diferidas

Si es la probabilidad de morir entre x y x+n, (p.ej. la probabilidad de morir entre los 30 y los 35), tiene que ser exactamente lo mismo que la suma de las probabilidades de morir entre los 30 y los 31, más la probabilidad de morir entre los 31 y 32 más (…) 32 y 33 + 33 y 34 + 34 y 35

Recuerda que…
= probabilidad de que un individuo de edad x muera en n años (entre 30 y 35)
… entonces…
es la probabilidad de que un individuo de edad x muera en 1 año (entre 30 y 31)
… y sigue que…
es la probabilidad de que un individuo de edad x muera en el rango x+1 y x+1+1 (entre 31 y 32)
(idem) para un rango x+2 y x+2+1 (entre 32 y 33)
(idem) para un rango x+n-1 y x+n-1+1 (enre 34 y 35)
[fíjate que es lo mismo que 0/!!]

Todo esto se puede resumir en

de forma que

Vida residual

La vida residual para un individuo de edad x se escribe como Tx, y es = edad de muerte X – edad actual x
Se entiende como la vida que le queda por vivir a un individuo, teniendo una edad esperada de muerte. La función de distribución de la vida residual es

es equivalente a

y la función de densidad

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Martes, 14 de septiembre

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Tema 1. El modelo biométrico

Seguro de vida: cubren un riesgo (morir) que siempre sucederá.

Biometría: ciencia que se encarga de la medición de la vida humana. Saber cuándo se puede producir la muerte de un individuo dentro de una sociedad. Así, existen unas tablas de vida y tablas de mortalidad, que recogen el comportamiento probabilístico de la supervivencia/muerte de los individuos en función de su edad (x), que siempre es el punto de partida del modelo. La edad del inviduo se simboliza con x (x minúscula).

Estos datos se obtienen de eurostat y del INE.

x, la edad del inviduo, no es la variable aleatoria que se busca, sino que está determinada y se sabe.
La probabilidad de que se muera a una edad se complementa con la probabilidad de sobrevivir a una edad,… si tengo el 0,7 de probabilidades de morir a los 80 años, es porque tengo un 0,3 de probabilidades de estar vivo a los 80 años. La suma de ambas es = 1.

Se trabaja en tablas anuales, o de meses para los bebés (un ser humano se considera individuo vivo a partir de las 24h de su nacimiento). Se valora como una variable continua cuando estemos en el campo de la integración, y como variable discreta cuando estemos trabajando con sumatorios.

w, es la edad máxima esperada de un individuo. La vida humana está en un rango (0,∞), aunque se considera un tope alrededor de los 105 años. “w” es el infinito actuarial.

Así, queda una línea temporal de (0…w), o bien desde (x…w)

X, mayúscula es la edad de fallecimiento del individuo. Es la variable aleatoria.

Tx, es la vida residual que se espera para un individuo con edad x. Ya que “T” es genéricamente la edad residual de los individuos. De forma que T = X-x
El tiempo de vida que nos queda por vivir es = edad posible de nuestro fallecimiento – edad actual.

t, minúscula es un instante temporal. Es la probabilidad de que la edad de muerte sea igual o menor a un instante t o edad x. O también, x+t si partimos de una edad x. Es un cálculo de la función de distribución F(t) o mejor, Fx (t), que significaría “función de distribución de un individuo de edad (x) en el instante t.

Si el estudio se enfoca desde la supervivencia, la complementaria P(X>t) se conoce como Sx(t), que es la función de supervivencia.

Es decir; función de distribución, para cuando queremos saber la probabilidad de que un individuo con edad x muera en un tiempo t, y función de supervivencia, para cuando queremos saber la probabilidad de que un individuo con edad x esté vivo en un tiempo t.

De esta forma,
Fx(t) + Sx(t) = 1

Hipótesis del modelo biométrico:

Para que se pueda aplicar la estadística a todos estos cálculos, hay que suponer un comportamiento de la probabilidad que no nos deje navegando en el caos de la incertidumbre:

1. Homogeneidad
2. Independencia
3. estacionalidad

1. la hipótesis de homogeneidad supone que los individuos son homogeneos respecto a su comportamiento estadístico. La función de distribución del individuo “a”, es igual a la función de distribución del individuo “b” en el mismo momento temporal;
Fxa(t) = Fxb(t)

No se cumple cuando se compara hombre con mujer, ya que las mujeres viven significativamente más que los hombres.

2. la hipotesis de independencia sirve para definir que la muerte de una persona no provoca la muerte de otra. Es decir, las muertes no dependen unas de otras.

3. la estacionalidad supone que la ley de probabilidad no cambia con el tiempo. La probabilidad de que yo me muera a los 80 años es la misma hoy, que lo será mañana. Sin embargo es evidente que la gente vive cada vez más tiempo, pero por esto las tablas son dinámicas y se elaboran los cálculos teniendo en cuenta el efecto generación. Son las tablas PEM y PEF 2000 (población española masculina/femenina del año 2000).

Características de la función de distribución

F(t) = P(X<t) … la probabilidad de que la muerte suceda en un instante menor/igual a un instante t.

1. en el tiempo = 0 (el momento de nacer) la probabilidad de morir = 0.
2. en el tiempo = w (el horizonte actuarial) la probabilidad de morir es = 1.
3. es una función no decreciente; la probabilidad de morir aumenta con el paso del tiempo (cuando aumenta la edad del invididuo) o como mínimo es estable.
4. es continua por la derecha.

La función de supervivencia…
S(t) = P(X>t)
… es la complementaria a lo anterior

1. en el tiempo = 0, probabilidad = 1
2. en el tiempo = w, la probabilidad de estar vivo = 0
3. es una función no creciente. La probabilidad de estar vivo se reduce con el paso del tiempo.

Tipos de probabilidades

Para mortalidad o supervivencia se define si queremos calcular
1. probabilidades anuales
2. probabilidades temporales
3. probabilidades diferidas
4. probabilidades mixtas (2 y 3)

1. Una probabilidad anual analiza el comportamiento esperado de X en el plazo de un año.
qué ocurre entre “x” y “x+1″

2. una probabilidad temporal analiza el comportamiento de X en un margen temporal “n”. Por ejemplo, probabilidad de que a los 20 años, mueras entre los 20 y los 30;
qué ocurre entre “x” y “x+n”

3. una probabilidad diferida mide lo que ocurrirá en un margen anual futuro, a unos “m” años vista,
qué ocurre entre “x+m” y “x+m+1″

4. una probabilidad mixta mide lo que ocurrirá en un margen temporal futuro,
qué ocurre entre “x+m+” y “x+m+n”

Probabilidades temporales

1. Partiendo de la edad cero, la probabilidad de morir entre x y x+n se entiende como
P ( x < X < x+n )

lo que supone.. probabilidad de morir a “x+n” menos probabilidad de morir a “x”
P(x<X<x+n) = F(x+n) – F(x)

2. partiendo de la edad x, la probabilidad de morir entre x y x+n ahora está sujeto a que X (la muerte) debe ser en un instante temporal > a la propia edad actual “x” del invidiuo.

P (x < X < x+n | X>x )

lo que supone.. la resta anterior dividido por 1-F(x) [o su complementario, la función de supervivencia S(x)]

P(x<X<x+n | X>x) = F(x+n) – F(x) / 1-F(x)

Y esto se conoce como “q” (cu minúscula) probabilidad de muerte
en un margen temporal “n”
suponiendo una edad inicial “x”

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Lunes, 13 de septiembre de 2010

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Primer día de presentación, nada más.

Nos ha explicado que tendremos 3 profesores distintos, que el 2 de noviembre habrá un primer parcial de la asignatura que permitirá eliminar el 50% de la materia del examen final.